顶帖. “四个不全相同的完全平方数不能构成等差数列” 这一命题有名且证明相当不易.

a² b² c² d²四个数是等差数列不存在
－a² b² c² d²等差数列存不存在？
－a² －b² c² d²呢？

这个结论据说来自费马 (17世纪)
H.C.Pocklinton (1914) 给出过这个结论的证明 (p112第6节), 和上面一样也是把问题转化成证明不定方程 x^4-x^2y^2+y^4 = z^2 没有非平凡整数解
J.H.E.Cohn (1983) 给出了以下推广: 对任意正整数n, 当且仅当关于x,y,z的不定方程
x^4 + (n^2-2)x^2y^2 + y^4 = z^2
有满足xy(x^2-y^2)不为0的整数解时, 存在一个由正整数组成的非常数的等差数列, 使得数列的第1项, 第3项, 第n项, 第n+2项都是完全平方数
H.C.Pocklinton, (1914) Some Diophantine impossibilities, Proc. Cambridge Philos. Soc. 17, 108-121.
https://people.math.harvard.edu/~knill/various/eulercuboid/pocklington/index.html
J.H.E.Cohn, (1983) Squares in arithmetical progressions I, Math. Scand. 52, 5-19.
https://www.mscand.dk/article/view/11988

四次不定方程 x^4 + Dx^2y^2 + y^4 = z^2 对应的椭圆曲线是 Y^2 = X(X^2+DX+1), 对某些特殊类型的D, 存在有效的初等方法能证明方程只存在平凡解, 对另外一些类型的D能构造出非平凡的解
这个方程的早期成果主要来自Euler和20世纪初的Pocklinton, E.Brown确定了0<=D<=100时所有使方程只有平凡解的情形
E. Brown,(1989). x^4 + dx^2y^2 + y^4 = z^2: some cases with only trivial solutions - and a solution Euler missed, Glasgow Math.J. 31, 297-307.
https://doi.org/10.1017/S0017089500007862
Euler对此的相关结果在这里有整理:
https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/755/