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无穷算法的结果

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先看一个无穷算法:√(n*(n+1)+√(n*(n+1)+√(n*(n+1)……=n+1
这个式子应该都见过吧!这个式子分母是2,分子的2可以看做1*2,第无穷项就是无限接近2了,除以二就等于一,如果分子变成n*(n+1),分母变成n+1,n=1就是这个式子,n=2就变成了
√6/3*√(6+√6)/3*√(6+√(6+√6))/3……
问:n等于不同正整数时,这个算式的极限是多少?


IP属地:安徽来自Android客户端1楼2024-10-24 13:58回复
    我只会算图中的情况,可以用欧拉公式变形后,得到通项公式X_n=2cosπ/2^(n+1),得到∏[2cosπ/2^(n+1)]/2,对于这个式子乘上一个sinπ/2^(n+1),整理得到lim1/sinπ/(2^n+1)*2^n,等价无穷小有sinπ/(2^n+1)∽π/(2^n+1)最后得到2/π


    IP属地:云南来自Android客户端5楼2024-10-24 19:04
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      很容易看出结果是0到1之间,随着n变大,结果是不是在慢慢变大?


      IP属地:安徽来自Android客户端8楼2024-10-24 19:38
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        感觉可以求导一下,知道n=1的点能不能写成泰勒级数的形式?


        IP属地:云南来自Android客户端9楼2024-10-24 20:57
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          昨天晚上我做了一个思想实验,可以把连乘和求和看作一种运算,把求合的本质,看成解析延拓,那么本质上求这种连乘,其实就是一种解析延拓。


          IP属地:云南来自Android客户端10楼2024-10-25 13:46
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            若F(n+1)-F(n)=1,且F(0)=0,对他解析延拓


            IP属地:云南来自Android客户端11楼2024-10-25 16:24
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