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增长率序数的扩张和良定义化

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对角化等级目前还很难定义。
正在就开出一小部分的版本。
形式:{#,a@(X)β,γ}
#为前面无关内容,a@(X)β指γ前面第一个非零参数,其中X是迭代符,γ是零位参数。
在{1@(0)0}之内,则可退化为{#,a@β,γ}:
1,基本规则{a,b}=f_a(b)
2,a是后继序数,β=1,则={#,a-1@β,}嵌套γ次。
3,a是后继序数,β是后继序数≥2,则表示第1+γ个α→{#,a-1@β,α@β-1,ω}
4,a是后继序数,β是极限序数。
则={#,a-1@β,1@β[lbk]γ[rbk]}
5,a是极限序数,则={#,a[lbk]γ[rbk]@β}。
6,γ是极限序数,则=sup{x<γ|{#,a@β,x}}
其中4,5中涉及对角化,对角化后的序数直接在当数字不再参加对角化了,但如果对角化后该序数仍然还是极限的,则需要继续对角化,直到能满足可以用规则2,3为止。
引用迭代符的规则,利用一下OLAN第二代。
(0),其中{1@(0)0}表示a→{1@a},{1@(0)n}表示第1+n个这样的不动点
(0)(0)(0)...n个(0)...=(0)^n
(1)=a→(0)^a,((0))=a→(a)。
除了{#,a@β,γ}中,γ以零位参数存在时出现极限序数不需要对角化,其他的出现极限序数一律都要对角化。
比如{1@(1)0,(0)^ω,ω+1)={1@(1)0,(0)^(ω+1)}
{1@((0)ω)0,ω+1}={1@((0)ω[lbk]ω+1[rbk])0}
请问这部分能跟Y序列打吗?在哪个Y里面?


IP属地:广东来自Android客户端1楼2024-10-18 02:15回复
    很多人会认为这是大数函数,实际并不是,这是一个序数函数。
    那么我们如何运用到FGH上呢?
    上次f1(ω)我们是怎么代入FGH的。
    f0 ^ω(ω),然后对角化上面的ω。
    f1(f1(ω))呢,是f0^f1(ω) (f1(ω))。
    f_2(ω)呢。我们知道,f_2(ω)=f1 ^ω(ω),接着呢,因为基本列,是f1(ω),f1(f1(ω)),...,所以对角化f1 ^ω(ω)中上面的ω。
    即f_2(ω)[3]=f_1(f_1(f_1(ω)))
    经检验,我们发现这种对角化是正确的,完全对应于f_ω^2(n)。
    那么f_2(ω+1)呢?
    首先根据FGH会拆成f1(f2(ω)),接着变成f0^f2(ω)(f2(ω)),可见等价f_2ω^2(n),与计算结果一样。
    同样的,f2(ω+2)则拆成f1(f1(f2(ω))),然后f0^f1(f2(ω)) f1(f2(ω)),根据对角化角标,得对角化f0指数的f1(f2(ω))得f0^f2(ω) f2(ω),可证等价4ω^2。
    接着f2(ω+ω)呢?,首先会对角化f2(ω+ω),证得等价于ω^3。
    f2(2ω+1)→f1(f2(2ω))→f0^f2(2ω) f2(2ω),可证得等价于2ω^3
    f2(2ω+2)→f1(f1(f2(2ω)))→f0^f1(f2(2ω)) f1(f2(2ω)),得等价于4ω^3
    f2(3ω)类似的等价ω^4,f2(4ω)等价ω^5,f2(ω^2)等价ω^ω,这样一来,因为与直接计算贴合了,好像说明能良定义化增长率序数使增长率序数用于大数记号。
    那么,问题来了,f2(f1(ω))怎么拆开?
    f2(f0^ω (ω)),然后f2(f0 ^ω[n](ω)),f1(f2(f0^ω[n-1] (ω))),根据n的基本列,可得贴合f2(f1(ω))原计算值的ω^3。
    f2(f2(ω))呢?先f2(f1 ^n (ω)),然后f2(f0^f1^n-1 (ω)(f1^n-1 (ω)))。
    代入n=2看一下:
    f_f2(f2(ω))(2)=f_f2(f1(f1(ω)))(2)=f_f2(f0^(f1(ω)) f1(ω))(2)=f_f2(f0^(f0(f0(ω))) f1(ω))(2)
    3的就是f_f2(f1(f1(f1(ω))))(3)=f_f2(f0^f1(f1(ω)) f1(f1(ω)))(3)=f_f2(f0^f0^f1(ω) (f1(ω)))) f1(f1(ω)))(3)
    我们知道,f2(f2(ω))计算值是ω^ω,根据上面,是ω^5→4ω^4,3的是ω^9→8ω^8,可以见得定义没问题。
    于是可以这样定义:
    f_f0(X)(n)=f_X(f_X(f_X...(n)...))
    f_fa(f0(X))(n)=f_fa-1(fa(X-1))(n),X是后继序数
    f_fa(X)(n)=f_fa(X[n])(n),X是极限序数。


    IP属地:广东来自Android客户端2楼2024-10-19 02:08
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      OLAN第二代的规则用过来能使增长率序数扩张到(ω→ω→LVO)₂,不过应该够扽很远的了。而(ω→ω→ω+1)₃=(ω→ω→ω→2)₂目前在增长率序数的扩展上好像还没头绪,这序数应该很大。
      联立了Ω放进OCF得TSSO是{1;0,0,0},换算成二级对角化即是(ω→ω→ω^2+1)₂,大概SHO是(ω→ω→ω^ω)₂,并预测n-Y序列大概在(ω→ω→ω^^n)₂这层次内。
      增长率序数可以视作是一种catching描述函数,一种Catching函数的扩张。


      IP属地:广东来自Android客户端3楼2024-10-19 02:23
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        接着f2(f2(f1(ω)))怎么展开呢?
        先转化f2(f2(f0^ω (ω)))
        接着f2(f2(f0^n (ω)))→f2(f1(f1(...f2(ω)...)))
        再探讨一下有无问题?
        f2(f2(f1(ω)))=ω^ω^2,上面变成ω^(ω×2^n),可见没问题。
        于是f1(ω)是可以直接展开的。
        直接看f3(ω),显然没问题,那么f3(f1(ω))呢?根据运算,f3(f1(ω))=f3(f0^ω (ω))=f3(f0^n (ω))=f2(f2(f2...f3(ω)...))
        接着呢?应该展开最外面的f2,变成f1^... ...,考虑f2(f3(ω)),于是就会变成f1^f3(ω) f3(ω),因为f3(ω)是极限序数,需要对角化,变成f1^f2(f2...) f3(ω),相当于ε0^2→ε0×ω^^n,接着考虑f2(f2(f3(ω))),则变成f1^f2(f3(ω)) f2(f3(ω))→f1^f1^f3(ω) f3(ω) f2(f3(ω)),相当于ε0^ε0→ε0^ω^^n,没有问题。
        所以规则可以这样。
        fa(fb(ω)),当b≤a时,展开b,当b>a时,则展开a。
        联合上面三个规则,这样我们可以适用到f_ω(ω)。


        IP属地:广东来自Android客户端4楼2024-10-21 01:22
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          对于f_ω(ω)。
          我们定义了对角化ω[ω],可以定义为假序数,比如f_(ω+1)(ω)中的ω+1是假序数,假序数为极限序数取基本列后而形成,可以大于该极限序数自身,这是十分常见的情况,假序数和真序数的区别,假序数在该基本列上不再参与对角化直接当数字代入计算,而真序数能参与,如果该极限序数的基本列还是极限序数,那么该假序数自身也是极限序数,依旧需要对角化,直到对角化完全了才能直接当成数字继续展开运算。
          对于对角化完全的极限假序数,则直接取极限,而未完全的则依然继续取基本列。
          比如f_ω(ω+1)=f_ω[ω+1](ω+1)=f_(ω+1)(ω+1)=f^ω+1 (ω)(ω)=f_(ω)(sup{n∈ω|f^n (ω)(ω+1)})
          f_ω^2(ω+1)=f_ω^2[ω+1](ω+1)=f_ω×(ω+1)(ω+1)
          到这就对角化完毕了?错。
          ω×(ω+1)假序数也是极限序数,是ω×(ω)+ω,这个ω没对角化,需要继续转化成ω×(ω)+(ω+1),这样对角化才算完毕。接着才能继续算有f_ω×(ω)+(ω+1)(ω+1)=f^ω+1 ω×(ω)+(ω)(ω+1)=......
          对于f_ω^ω(ω+1)也是一样的,变成ω^ω[ω+1],在幂上被对角化,此时指数ω+1是假序数,所以可以直接拆开是ω^ω[ω]×ω,这个ω没对角化到所以要演变成ω^ω[ω]×(ω+1),接着ω^ω[ω]×(ω)+ω^ω[ω]→ω^ω[ω]×ω+sup{ω^n}(这个时候ω是被对角化的,所以可以直接取极限)→...
          这样就可以定义BO前面的增长率序数运算方式了。


          IP属地:广东来自Android客户端5楼2024-11-15 21:13
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