学过高等的数学的人都知道光滑曲面有方向导数。既然如此，那么光滑曲面也就会有方向曲率。
以下简称光滑曲面为曲面。
定义：对于曲面S上的一点P，通过P且垂直于xoy平面为方向平面。用方向平面去截S，得到的相交线为方向截线。方向截线在P点的曲率为方向曲率。方向平面与xoy平面的相交线为方向截线。由P点在方向截线上的投影开始，沿方向截线的矢量为方向曲率的方向。
如图一，S为曲面，W为方向平面。W经过P点，且垂直于xoy平面。W与S相截，曲线C为W与S的截线。V为在W与xoy平面的相截线L上的方向矢量。曲线C在P点的曲率就是S在V方向的方向曲率。
曲面S上一点P的方向曲率有曲率圆，法曲率也有曲率圆。
设当方向曲率的方向与法曲率的方向一致时，这个两个曲率的曲率圆的平面的夹角为α。
显然，只有当方向曲率的曲率圆与最小的法曲率的曲率圆在给定点相切时，方向曲率才会是最小的。显然这时α角是最小的。
显然，只有当方向曲率的曲率圆与最大的法曲率曲率圆相切时，方向曲率才会达到最大。显然这时α角是最大的。
显然，既然最大法曲率与最小法曲率的方向是垂直的。那么最大方向曲率与最小方向曲率的方向也肯定就是垂直的了。
讨论
方向曲率反映了曲面不同方向上的弯曲程度。它们对我们全面的认识曲面是有很大帮助的。
比如球面在法曲率上是各点各方向一样的，但在方向曲率方面，则一般是各个方向不同的。
一般的人容易将法曲率与方向曲率搞混淆，其实它们并不完全一样。当方向截线与法截线是同一条曲线时，法曲率就是方向曲率，方向曲率也就是法曲率。而当方向截线与法截线不是同一条曲线时，法曲率与方向曲率就是不相等的。
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