所有曲线都是 C 上的光滑射影代数曲线，所有映射都是代数的，也就是由有理函数确定的。不过对于曲线而言，紧 Riemann 面间的保定向共形映射和射影代数曲线间的（代数）映射是同一回事
X是亏格为g的紧黎曼面，下面考虑X的全纯自同构群 AutX ，用多种方法尝试证明著名的Hurwitz theorem：若g>1，则 AutX 是有限群，且阶不超过 84(g−1) ：
任给有限群G，注意到范畴等价：
一，C 上代数曲线 // 双有理等价 = C 上光滑射影曲线 = 紧黎曼面 = C 上一维代数函数域
只需要说明存在一维代数函数域 K (即 C(x) 的有限扩张)，使得G是 AutK 的子群。由于 C(x) 上Galois逆问题已被肯定地解决，可知存在 K 使得 G=Gal(K/C(x))⊆AutK ，即证。
二，假设G可由g个元 xi 生成，任取一个亏格g的紧黎曼面 X0 。则根据 π1(Σg) 的精确描述可以造一个 π1(Σg)→G 的映射( ai→xi,bi→1 )。根据covering space theory，映射的Kernel对应一个covering： X→X0 ，则X也成为一紧黎曼面，G作为全纯自同构作用在X上。
（进而由Hurwitz formula知由n个元生成有限群可作用在亏格为 1+|G|(n−1) 的紧黎曼面上）
然后，我们来验证有限性：若g>1，则 AutX 是有限群。且阶不超过 84(g−1)
方法一：根据单值化定理，X作为二维可定向闭曲面可赋一常曲率（ K≡−1K \equiv -1 ）的黎曼度量。
利用Bochner技巧可得：
对紧可定向黎曼流形M，其上Killing field V满足 12Δ|V|2=−Ric(V,V)+|∇V|2\frac{1}{2}\Delta|V|^2=-Ric(V,V)+|\nabla V|^2
两边积分可知：若M还具有负Ricc曲率，则M上Killing field只能是0。 而Killing field是 M的等距自同构群（其为紧李群）的李代数，故其0维，因此等距自同构群 Iso(M)Iso(M) 有限。
回到X，则X的全纯自同构也一定是X的等距自同构，由上知 #AutX<∞\#Aut X <\infty
方法二： AutXAut X 自然作用在X的全纯微分形式全体 H0(X,K)H^0(X,K) 上，根据Riemann-Roch定理+ample divisor的性质容易知此为忠实作用。 H0(X,K)H^0(X,K) 是g维复向量空间，其上有自然的非退化双线性型 (w1,w2)→−1∫Xw1∧w¯2(w_1,w_2) \rightarrow \sqrt{-1}\int_X w_1 \wedge \bar w_2 ，其被 AutXAut X 保持。另外根据指数序列 1→Z→O→O×→11 \rightarrow \mathbb Z \rightarrow O \rightarrow O^{\times} \rightarrow 1 以及Serre duality可得到 H1(X,Z)H^1(X,\mathbb Z) 可成为 H0(X,K)H^0(X,K) 中的Lattice，且被 AutXAut X 保持。而保持这两个结构的线性自同构只有有限多个，因此 AutXAutX 有限。
X是亏格为g的紧黎曼面，下面考虑X的全纯自同构群 AutX ，用多种方法尝试证明著名的Hurwitz theorem：若g>1，则 AutX 是有限群，且阶不超过 84(g−1) ：
任给有限群G，注意到范畴等价：
一，C 上代数曲线 // 双有理等价 = C 上光滑射影曲线 = 紧黎曼面 = C 上一维代数函数域
只需要说明存在一维代数函数域 K (即 C(x) 的有限扩张)，使得G是 AutK 的子群。由于 C(x) 上Galois逆问题已被肯定地解决，可知存在 K 使得 G=Gal(K/C(x))⊆AutK ，即证。
二，假设G可由g个元 xi 生成，任取一个亏格g的紧黎曼面 X0 。则根据 π1(Σg) 的精确描述可以造一个 π1(Σg)→G 的映射( ai→xi,bi→1 )。根据covering space theory，映射的Kernel对应一个covering： X→X0 ，则X也成为一紧黎曼面，G作为全纯自同构作用在X上。
（进而由Hurwitz formula知由n个元生成有限群可作用在亏格为 1+|G|(n−1) 的紧黎曼面上）
然后，我们来验证有限性：若g>1，则 AutX 是有限群。且阶不超过 84(g−1)
方法一：根据单值化定理，X作为二维可定向闭曲面可赋一常曲率（ K≡−1K \equiv -1 ）的黎曼度量。
利用Bochner技巧可得：
对紧可定向黎曼流形M，其上Killing field V满足 12Δ|V|2=−Ric(V,V)+|∇V|2\frac{1}{2}\Delta|V|^2=-Ric(V,V)+|\nabla V|^2
两边积分可知：若M还具有负Ricc曲率，则M上Killing field只能是0。 而Killing field是 M的等距自同构群（其为紧李群）的李代数，故其0维，因此等距自同构群 Iso(M)Iso(M) 有限。
回到X，则X的全纯自同构也一定是X的等距自同构，由上知 #AutX<∞\#Aut X <\infty
方法二： AutXAut X 自然作用在X的全纯微分形式全体 H0(X,K)H^0(X,K) 上，根据Riemann-Roch定理+ample divisor的性质容易知此为忠实作用。 H0(X,K)H^0(X,K) 是g维复向量空间，其上有自然的非退化双线性型 (w1,w2)→−1∫Xw1∧w¯2(w_1,w_2) \rightarrow \sqrt{-1}\int_X w_1 \wedge \bar w_2 ，其被 AutXAut X 保持。另外根据指数序列 1→Z→O→O×→11 \rightarrow \mathbb Z \rightarrow O \rightarrow O^{\times} \rightarrow 1 以及Serre duality可得到 H1(X,Z)H^1(X,\mathbb Z) 可成为 H0(X,K)H^0(X,K) 中的Lattice，且被 AutXAut X 保持。而保持这两个结构的线性自同构只有有限多个，因此 AutXAutX 有限。
