假如吧主一直不来就去把ta投诉了然后..........

一直在想为什么我看不懂代数
怎么说呢,人都知道几何和分析关注的是数学连续的一面,代数和拓扑关注的是离散的一面.至于Tao偶像说的代数学家喜欢等式bla bla,倒没有很深的体会,总觉得人都应该喜欢等式,只是分析学家们勇敢地承担了不等式而已...

代数追求的是结构化,从初等拓扑到同调代数/代数几何什么的,基本上就是说假如有某个东西服从一种特殊结构,而该东西的很多性质可以仅从该结构得出,则代数学家们就会考虑一个具有该结构的东西的抽象定义,然后问它有什么性质,blabla...比如环啊,模啊,正合列,同调/上同调那都是如此

但这世界上毕竟有许多东西是暂时不能结构化的,比如说NS(不是女神),说真的对于线性方程我们在某种意义下还是可以结构化(至少,我们有比如抽象半群的理论云云),但对于非线性的东西,目前人们还只能在很特殊的框架下研究(比如傅立叶分析推广到LCA群,这算是一个结构化,虽然看上去不是极其重要;推广到非交换群就是所谓表示伦,在广义下可以把它归为代数,那也是一个很庞大很热门的研究领域,但是对于分析而言,迄今为止但凡有一点深刻的结果都是在R^n的框架下完成的)

重复一下5L的话,我们可以(事实上这很重要)在比如说p进数域中解代数方程,甚至解某些微分方程,但所有这些东西在R上都是平凡的;换言之R上真正有深度的分析我们是不能够搬到(哪怕任何一个)别的setting下的
那么说我对代数的认识也就是小学生水平,比如说吧,就算是交换代数/同调代数/代数几何里面(事实上上学期我看过一点C*代数的书,然后......)要搞一个交换图表或是正合列什么的,然后要证明一些别的东西,我看着就说这东西难道不是很无聊很平凡的么......?当然对于微分几何或者pde中也需要计算曲率或者守恒量什么的,但那个至少actually get something(比如说,我们计算出这样一个表达式,他是守恒/单调的了,这是人类文明的伟大进展啊),但假如我证明了"假如一个东西是单射而某个序列是正合的,某个图表是交换的,则另一个东西也是单射",嗯......

说到代数几何,我最直观的了解就是貌似老丘说的"对于流形的奇性我们不好把握但是对于代数簇的奇性可以很简单的定义,那么blabla..."从这个角度来看倒还真是有可以期待代数几何能有若干贡献在(微分)几何和分析方面(反之的贡献很多了,比如Calabi-Yau就是一个纯而又纯的pde问题(而且还是椭圆的..虽然在70年代算很难了)后来老丘专门另写一篇文章讨论对代数几何的应用),不过现在的问题是为了入门我是得忍受6楼所说的无聊平凡的东西么...
老是说我看不下去拓扑(这个其实还好了,至少hatcher前面还是看得下去的)是因为缺乏空间想象能力(其实也未必,至少像house with 2 rooms那种东西努力想想还是能模拟一下的),那我为什么看不下去代数就是因为缺乏形式计算能力(这个不好说,比如算交换图和算黎曼曲率的ijkl哪个算形式计算?)

还有范畴论!
其实基本上(完成了的)代数理论(比如代数几何什么的)都是非常漂亮的,只是世界并不总是都那么漂亮而已
晚上或许说下数论相关,又或者

"又或者"说下grothendieck
当然不是我能对这类神级人物说什么,只是顺便一下关于代数几何.......
btw刚才翻历史纪录又看到某篇导致我发某篇校内日之的紫幻转的某篇文章,说真的那简直就是脑残中的战斗残蹲墙角画圈圈一碎碎念戳小人一万遍不解释
(吧主觉得无聊可以删了这一楼,因为我还能恢复)

就不提那战斗残了,影响心情
说下数论,今天和小盆友们上了是我顿时感觉老了十岁的课,讲任何正整数可以表为m个m角形数之和的.......
大家都会认为这不是好数学(模掉平方和相关...除非你认为平方和也不是好数学),不过为什么说FLT就是好数学?

接11楼
答案是,在研究FLT的过程中发展了很多理论和工具,对人类的进化作出了贡献........
可为什么发展了理论就是贡献?
我们可以这么来看,数学的目的是什么?从最初来看一定是做题,后来人们渐渐发现很多题目可以用同样的方法做,于是就有了理论,再后来人们发现有的理论很漂亮却不能用来做题,由此引发对抽象化(Bourbaki主义)的诟病
也可以反过来想,为什么数学的目的就一定得是做题呢?就不能是为了发展理论么?
顺便,我一直认为1+2是废儿子级别的工作,虽然即使没有文革和闭关锁国陈景润也未必真能拿得了...

HTS
applying for grad school is kinda like STRUGGLING IN THE HELL
so if you apply for 9 schools, you'll have hundreds to thousands of blanks to fill, and most probably you cannot complete the MOST BASIC parts given a WHOLE DAY (by which I mean 24 HOURS)@!!!


回复：7楼
嗯。

暂时没找到15楼和7楼的联系...
最近看Ricci流了,基本方法而言还是很简单的，找到一个blow up就把它局部的形状研究清楚然后搞surgery...先不说surgery,就说怎么可能把局部形状完全搞清楚了?就Perelman的文章而言关键就是所谓W-entropy的引进,然后可以保证rescale的解能够收敛.然后在三维情形对于所收敛到的(ancient,就是定义在t<0上)解能够继续讨论(这一步用了很多的几何结构,相比前面的讨论还是很标准的pde,我想也是为什么说这样的blow-up刻画对很多其他方程还是可望不可即)最终给出一个分类

当然还有极值原理等很多技术问题,以前的多是Hamilton做的,当然后来人也做了一部分(这么细的东西我就不清楚啦)