有没有大佬帮忙看下这个特征值怎么求

题目让求Jordan标准型，这有些故弄玄虚了
因为对称阵是一定能相似对角化的，特征值是n个实数，所以所谓Jordan标准型就是对角型
本题其实就是求n个实数特征值
其过程包括不同阶的特征多项式的递推关系和特征多项式方程的求解
技巧在于变量代换
知乎上的解答有些把简单问题复杂化了
不同阶的特征多项式的递推关系很容易得到，这里就不写过程了，直接写结果
用s表示特征值符号，递推关系为
D(n)=sD(n-1)-D(n-2)
并有
D(2)=s^2-s-1
D(3)=s^3-s^2-2s+1
这种形式很难通过递推得到通式
所以此时即可引入变量代换
令s=t+1/t=(t^2+1)/t
注意:t是复数，代换是在复数范畴内进行的，所以可实现实数s的任意取值
由此可得
D(2)=(t^4-t^3+t^2-t+1)/t^2
=(t^5+1)/[t^2(t+1)]
D(3)=(t^6-t^5+t^4-t^3+t^2-t+1)/t^3
=(t^7+1)/[t^3(t+1)]
使用递推公式可得
D(4)=(t^9+1)/[t^4(t+1)]
至此可使用科学归纳法证明通式为
D(n)=[t^(2n+1)+1]/[t^n(t+1)]
在这种通式形式下
求解t^(2n+1)+1=0易如反掌
显然t=e^[j(2k-1)pi/(2n+1)]，k=1,2,...,2n+1
在这2n+1个解中
当k=n+1时，t=-1是增根，因为t+1≠0
其余2n个根分布在复平面实轴对称上下侧
因为是镜像关系，所以通过s=t+1/t后两两重合了s=t+1/t可得
sn=
e^[j(2k-1)pi/(2n+1)]+e^[j(1-2k)pi/(2n+1)]
=2Re{e^[j(2k-1)pi/(2n+1)]}
=2cos[(2k-1)pi/(2n+1)]，k=1,2,...,n