本人物理学理学学士。
【简述】
陀螺在初始的下倾过程中，X轴方向的角动量为什么不守恒？
【约定】
建立固定的坐标系，令：
重力方向为Z轴负方向；
陀螺初始位置为Z轴向X轴倾斜45°角，自转与进动都为逆时针（在Z轴有正的分量）。
陀螺有一端在原点稳定的支撑。另一端在初始时由细绳吊着。陀螺只有稳定的角动量，无其他运动。
若需定量讨论，以下物理量为1：重力、重力臂、重力矩；陀螺的转动惯量、初始角速度、初始角动量。
【理论】
t=0时，剪断绳子。
陀螺不会立刻绕Z轴进动，否则Z轴角动量不守恒。因为Z轴角动量除了陀螺自转角动量外，还有进动的角动量。
这时候陀螺的重心会降低，也就是确实会向下倾倒一个角度。自转角动量在Z轴上的减少，也由进动角动量补充上去。这样才开始了进动。
在这个过程中，因为重力矩是Y方向的，所以陀螺Z轴方向的角动量始终守恒。Y轴方向角动量的变化率等于重力矩。
——问题来了，既然陀螺有一个短暂的向下倾倒，X方向的角动量就会变大。而没有X方向的力矩，X方向的角动量为什么不守恒？——
在经过一段时间后，根据角动量定理，重力矩等于角动量的导数。稳定的进动。
【实验】
为此，我做了实验，可惜这里没法放视频。
陀螺确实有一个短暂的纯下倾动作，（这个短暂的过程就只有向下，没有进动，）然后震荡着进动。
然后可能由于阻力影响，最终稳定的进动（重力矩等于角动量的变化量）。
——问题来了，在初始下倾的一瞬间，X方向的角动量为什么不守恒？——
想了很久，也找人讨论了，但一直没搞明白。如果要保证初始一瞬间的X方向角动量守恒，那么陀螺初始的时候，角动量就要向Y轴偏转，但实验是向Z轴负方向偏转。
PS：不要简单的说角动量定理解释了陀螺为什么不倒，如果陀螺倒了，陀螺绕Y轴的倾倒，也是终于Y轴重力矩的。并且实验也证明了陀螺不是一开始就瞬间拥有进动速率的。它确实有一个很快下倾的过程。
PPS：会不会在下倾得过程中，角动量变小了呢？我也尝试把初始的倾角改为1°，用一个力把它从1°拉到89°，它的自转角速度并没有变小。
PPPS：虽然不能做实验，但是提供一篇参考文献吧：
南京大学 梁昆森 旋转的陀螺为什么不倒，第二页的截图：