稍加解释一下。
ψ型定义是三大类定义之中最简单的一个。首先，当你看到这个定义的时候（总共有4行），你会觉得好像循环定义了，因为C的定义里有ψ，而ψ的定义里又有C。但其实没有循环定义。它实质上是个归纳的定义。归纳变元在C的第一个参数以及ψ的括号中的α。
首先，C(0)不依赖任何ψ值。定义好C(0)之后，可以定义ψ(0)。在此之后，定义C(1)，然后定义ψ(1)。然后定义C(2)，然后ψ(2)。当所有C(n)、ψ(n)都定义好之后，可以定义C(ω)，然后ψ(ω)。然后C(ω+1)，然后ψ(ω+1)，等等。序数上的超限归纳允许我们如此定义，最终使得C与ψ对所有序数都有定义。
直观上理解，C(α)意味着“从0和Ω出发，用加法和以前定义过的ψ（即你放进ψ里面的序数必须小于α），能在有限步内构造出的所有序数”之集合。ψ(α)则是这种方式不能得到的最小可计算（即小于Ω）序数。
θ型定义也可以如法炮制。不过它是个二元函数。
首先，它的归纳变元在于C的第一个参数，A的参数，以及θ的第一个参数。
直观上理解，C(α,β)意味着“从0、Ω以及小于β的序数出发，用加法和以前定义过的θ（即你放进θ里面的第一参数必须小于α），能在有限步内构造出的所有序数”之集合。A(α)则是“依此法，不能用小于β的序数得到β”的那些序数β组成的序数类。θ(α,β)则是A(α)中的第1+β个序数，即A(α)的计数。
注意：θ(α,β)中的β可以是Ω甚至更大。例如θ(0,Ω) = Ω·ω，θ(0,Ω+1) = Ω·ω^2，θ(1,Ω) = ε(Ω+1)，θ(Ω,Ω) = φ(Ω,1)，θ(Ω+1,Ω) = φ(Ω+1,0)，等等。
𝜗型理解起来可能有点复杂。
首先，它的归纳变元在于C的第一个参数，以及𝜗的括号中的α。
直观上理解，C(α,β)与θ型的含义几乎相同：它是“从0、Ω以及小于β的序数出发，用加法和以前定义过的𝜗（即你放进𝜗里面的序数必须小于α），能在有限步内构造出的所有序数”之集合。
𝜗(α)则是满足两个条件的最小β：首先，C(α,β)不含有任何从β到Ω之间的序数（也不能含有β）；其次，C(α,β)要含有α。由此可以立即判断出α≠β，于是𝜗(α)≠α。
如果去掉“α∈C(α,β)”这个条件，那它的数值将与ψ型类似。但如果扩展到很多大序数的情况，它基本上还是𝜗型的。这种OCF参阅https://googology.fandom.com/wiki/User:Hyp_cos/OCF_vs_Array_Notation

如果用“添加新的大序数”的办法强化三大类OCF，那么只需添加ω个大序数，就可以把它们拉到同一水平。
用Ω(n)表示第n个非递归的admissible序数。Ω(1)就是Ω。
ψ型定义：
C(α,β,0) = β ∪ {0} ∪ {Ω(ν) | ν<ω}
C(α,β,i+1) = {γ+δ | γ,δ∈C(α,β,i)} ∪ {ψ_ν(γ) | γ∈C(α,β,i) ∧ γ<α}
C(α,β) = ⋃{C(α,β,i) | i<ω}
ψ_ν(α) = min(Ω(ν+1)\C(α,Ω(ν)))
这里的ν表示ψ_ν(α)在第几个序数大小区间中取值。ν=0是递归的（可计算的）序数；ν=1与Ω同类，是非递归的，但低于Ω(2)；更普遍来看，第ν类，表示这样的ψ_ν(α)与Ω(ν)同类，但低于Ω(ν+1)。
θ型定义：
C(α,β,0) = β ∪ {0} ∪ {Ω(ν) | ν<ω}
C(α,β,i+1) = {γ+δ | γ,δ∈C(α,β,i)} ∪ {θ(γ,δ) | γ,δ∈C(α,β,i) ∧ γ<α}
C(α,β) = ⋃{C(α,β,i) | i<ω}
A(α) = {β | β∉C(α,β)}
θ(α,β) = min{γ∈A(α) | ∀δ<β(θ(α,δ)<γ)}
θ同样有序数大小区间的概念，但它用“θ的第二参数在哪个序数大小区间中”来表示。比如θ(Ω,θ(Ω(3),θ(1,Ω(2)·2)))以深层“第二参数”中的Ω(2)·2为准，与Ω(2)同类，低于Ω(3)。
𝜗型定义：
C(α,β,0) = β ∪ {0} ∪ {Ω(ν) | ν<ω}
C(α,β,i+1) = {γ+δ | γ,δ∈C(α,β,i)} ∪ {𝜗_ν(γ) | γ∈C(α,β,i) ∧ γ<α}
C(α,β) = ⋃{C(α,β,i) | i<ω}
𝜗_ν(α) = min{β<Ω(ν) | C(α,β)∩Ω(ν)⊆β ∧ α∈C(α,β)}
𝜗也有序数大小区间的概念，而且与ψ型几乎一致。
以上所有定义都可以扩展到“添加一个Ω(ν)计数函数”的地步。三大类OCF仍然保持同样的强度。
ψ型定义：
C(α,β,0) = β ∪ {0}
C(α,β,i+1) = {γ+δ | γ,δ∈C(α,β,i)} ∪ {Ω(γ) | γ∈C(α,β,i)} ∪ {ψ_ν(γ) | ν,γ∈C(α,β,i) ∧ γ<α}
C(α,β) = ⋃{C(α,β,i) | i<ω}
ψ_ν(α) = min(Ω(ν+1)\C(α,Ω(ν)))
θ型定义：
C(α,β,0) = β ∪ {0}
C(α,β,i+1) = {γ+δ | γ,δ∈C(α,β,i)} ∪ {Ω(γ) | γ∈C(α,β,i)} ∪ {θ(γ,δ) | γ,δ∈C(α,β,i) ∧ γ<α}
C(α,β) = ⋃{C(α,β,i) | i<ω}
A(α) = {β | β∉C(α,β)}
θ(α,β) = min{γ∈A(α) | ∀δ<β(θ(α,δ)<γ)}
𝜗型定义：
C(α,β,0) = β ∪ {0}
C(α,β,i+1) = {γ+δ | γ,δ∈C(α,β,i)} ∪ {Ω(γ) | γ∈C(α,β,i)} ∪ {𝜗_ν(γ) | ν,γ∈C(α,β,i) ∧ γ<α}
C(α,β) = ⋃{C(α,β,i) | i<ω}
𝜗_ν(α) = min{β<Ω(ν) | C(α,β)∩Ω(ν)⊆β ∧ α,ν∈C(α,β)}

“添加一个Ω(ν)计数函数”让三大类OCF都达到了PTO(Π^1_1-TR_0)的强度。但再强化下去，它们就会呈现不一样的道路。
其中，ψ与θ是较弱的一类，而𝜗则独属较强的一类。
首先，单考虑Ω(ν)。它是第1+ν个“非递归的admissible序数及其极限”。这个计数函数是个连续增函数，因此可以像φ那样造出一种新的φ函数（新的Veblen层级）。
用Φ表示。Φ(0,α) = Ω(α)（注意：Ω(0) = 1，Ω(1) = Ω，Ω(ω) = sup{Ω(1), Ω(2), Ω(3), …}，Ω(ω+1) = 第ω个admissible序数），然后Φ(1,β)是满足α=Ω(α)的第1+β个序数。在这些二元Φ之上还有Φ(1,0,0), Φ(1,0,0,0,0,0,0,0)等等。最终，我们又需要一个新的OCF，来得出这些Φ(α,β,γ,δ)之流。
为了让ψ型和θ型OCF表达出它们，我们需要定义一族序数——那就是所有Ω(ν)。可以定义A = 所有大于ω的admissible序数，cl(A)是A的闭包，ec(A)则是A的闭包的计数。这样，只需把函数值限制在cl(A)上，一个简单的OCF就能把这些Φ东西全都表示出来。

而这些OCF用到一个新的、关键的序数——最小的递归不可达序数。这里记作I。
自然，在I之上，下一个可以用于OCF的序数则是Ω(I+1)。
在Ω(Ω(…Ω(Ω(I+1))…))之上，则又需要一种新的Φ来计数那些不动点，然后又有下一个递归不可达序数——I_2。
如此往复，那就令一种新的Φ，它的Φ(0,α) = Ι_α，也就是递归不可达序数的闭包的计数。
获得这样的Φ，也可以通过OCF来完成，而这个超级OCF所用到的序数，则是最小的2-递归不可达序数——I(2,0)。
如果一个序数α，它是admissible序数，而且对任何γ<β，α都是γ-递归不可达序数之极限，那么这样的α就是个β-递归不可达序数。
0-递归不可达序数就是admissible序数。
1-递归不可达序数就是递归不可达序数。
这样，以A为基础，就可以构造一系列层次。
A(0)是所有序数组成的序数类。
A(1+α)是所有α-递归不可达序数组成的序数类。
cl(X)表示X的闭包。
ec(X)是X的闭包的计数。
接下来才是具体的OCF。
ψ型定义：
C(α,β,0) = β ∪ {0}
C(α,β,i+1) = {γ+δ | γ,δ∈C(α,β,i)} ∪ {ψ(γ) | γ∈C(α,β,i) ∧ γ<α} ∪ {ψ_ν(ξ,γ) | ν,ξ,γ∈C(α,β,i) ∧ γ<α}
C(α,β) = ⋃{C(α,β,i) | i<ω}
ψ(α) = min(A(1)\C(α,0))
ψ_ν(ξ,α) = min(cl(A(ξ))\C(α,ec(A(ξ+1))(ν)))
由于获取递归序数（小于Ω(1) = min(A(1))的序数）的那个函数无法归类到ψ_ν(ξ,α)之中，所以单拎出来，作为ψ(α)。
θ型定义：
C(α,β,0) = β ∪ {0}
C(α,β,i+1) = {γ+δ | γ,δ∈C(α,β,i)} ∪ {θ(ξ,γ,δ) | ξ,γ,δ∈C(α,β,i) ∧ γ<α}
C(α,β) = ⋃{C(α,β,i) | i<ω}
B(ξ,α) = {β∈cl(A(ξ)) | β∉C(α,β)}
θ(ξ,α,β) = min{γ∈B(ξ,α) | ∀δ<β(θ(α,δ)<γ)}

那么，𝜗型OCF，又是如何定义的呢？
设I(α,β)是α-递归不可达序数之闭包中的第1+β个序数。
C(α,β,0) = β ∪ {0}
C(α,β,i+1) = {γ+δ | γ,δ∈C(α,β,i)} ∪ {I(γ,δ) | γ,δ∈C(α,β,i)} ∪ {𝜗_π(γ) | π,γ∈C(α,β,i) ∧ γ<α ∧ π是admissible序数}
C(α,β) = ⋃{C(α,β,i) | i<ω}
𝜗_π(α) = min{β<π | C(α,β)∩π⊆β ∧ α,π∈C(α,β)}（其中π是admissible序数）
主要是把Ω(γ)换成I(γ,δ)。甚至不用添加新的A类。
考虑函数𝜗_I。对于α<Ι，𝜗_I(α)足以与Φ(1,α)媲美，而𝜗_I(I+α)则对应Φ(2,α)。
也就是说，虽然我们什么都没加，但是当I作为下标的时候，这个OCF竟然自动地把取值限制在admissible序数之极限上！

如果给𝜗型OCF加类，那它加的就不仅仅是按照“α-递归不可达序数”形成的层级了，而是按照“α-递归Mahlo序数”形成的层级。
从根本上看，𝜗型OCF可以自然地处理完整的“……，并且Π_1-反射于……”这样的概念。因此只有到了迭代Π_2-反射这样的层级，才需要特意地给𝜗型OCF添加层级。
但ψ型和θ型OCF做不到。仅仅是α-递归不可达序数，就需要添加层级了。
然而，它们之间的差别，却也仅仅是“Π_n-反射”跟“Π_(n-1)-反射”的差别而已。如果到了Π_n-反射（任意n<ω）的地步，它们之间的差别将再次抹平。到那时，三大类OCF的区别已经不再重要，重要的（而且是最复杂的）是如何给这些OCF添加层级。
这个级别下的OCF可以说是群魔乱舞，十分难以理解。

厉害，支持

我一般用ψ(α+1)=ψ(α)*ω这样的ocf
θ只是在初始强度高于ψ，到了大序数还是会被追平。而且二元函数还不好分析，所以我并不用这类ocf (总有种画蛇添足的感觉)

这贴居然不是2014年的

这个vartheta是Weiermann还是Wilken，我忘了。下面均用θ表示（不管Feferman θ）
它的问题（好吧也不是问题）在于α<β不代表θ(α)<θ(β)
例如θ(ε0)=θ(θ(Ω))>θ(Ω)
这个基本上是我在discord里多次提到的一个类似的nonincreasing ψ
Rathjen大Ψ也是这个特性，搞得让人Ψ^0_Ω(Ψ^0_Ω(Κ)) > Ψ^0_Ω(Κ)分析起来很头疼

yes

true

φ和Φ差多远?

不愧是终极大佬，我-1个字都看不懂