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关于数学归纳法的几个疑问

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首先是很入门的问题，就是为什么要有这个数学归纳法？用传统的倒序相加的那种算法，不是已经足够充分了证明了例1提出的问题是对的吗，如果硬要说这样得出的命题只能对有限长度的整数集成立，而不能对全体的整数成立，那我也认了。
但是既然如此，我又想不通，就是例一中（2）所谓“归纳递推”的部分，他如何保证这种递推关系，又能对全体的整数成立呢？难道要再用一遍数学归纳法？如果你说是假设，我也认了，但是这样假设真的有意义吗，那我们最终得到的目标命题，岂不是只有在假设成立的时候它才成立？？这个归纳法我翻来翻去看了好几天了，怎么想都觉得怪呀，所以来问大伙了
IP属地:广东来自Android客户端1楼2022-07-02 00:57回复
    想不通就不用去纠结了，能用数学归纳法证明相关结论就行。
    IP属地:上海来自iPhone客户端2楼2022-07-02 01:49
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      数学归纳法是证明对于每一个自然数,所研究的命题成立
      因为除了第一个自然数,每一个自然数都是由某一个自然数+1得到的
      你可以反过来考虑,假设某个自然数对已经数学归纳法证明的命题不成立,那么它的前一个自然数也会不成立,这样一直递推下去,会得到它对第一个自然数也不成立,然而第一个自然数是已经单独证明了它是成立的
      因此不存在使得已被数学归纳法证明的命题会有自然数使得它不成立,这个命题对全体自然数成立
      注意,数学归纳法无法证明这个命题对自然数集成立,而是证明对每一个自然数成立,因为每一个自然数都是有限的
      IP属地:湖北来自Android客户端4楼2022-07-02 06:22
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        其实倒叙相加要证明对任意n个数都能相加，一样是数学归纳法在后面保证，只是高中不讨论这么深而已
        IP属地:广东来自Android客户端5楼2022-07-02 06:58
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          1.有没有一种可能，这只是个例子，数学归纳法不是只有这一个情况适用，而这道例题也不一定要用数学归纳法
          2.类比多米诺骨牌。已知你能推倒第一块，而且这一排骨牌中任意一块都能推倒后面一块，则你一定能推倒所有骨牌
          来自Android客户端6楼2022-07-02 07:34
          收起回复
            这个例子只是牛刀杀鸡而已，以后自然会有杀牛的机会
            IP属地:上海来自Android客户端7楼2022-07-02 08:52
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              事实上数学归纳法原理就是自然数定义(或者说自然数的皮亚诺公理体系)的一部分，因此涉及自然数的性质P(n)的证明底层都会需要数学归纳法
              IP属地:韩国来自iPhone客户端8楼2022-07-02 08:59
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                自行了解归纳公理
                IP属地:北京来自Android客户端9楼2022-07-02 10:51
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                  举的例子太简单了而已，让你觉得小题大做。
                  如果题目改成证明从1的立方加到n的立方等于从1加到n的和的平方，你还会觉得用个普通办法就能做吗？
                  IP属地:北京来自iPhone客户端10楼2022-07-02 11:13
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                    想不通建议不要纠结，数学归纳法是PA的推论，是比较根基的定理，没学过相关内容的话容易造成循环论证。
                    IP属地:湖南11楼2022-07-02 11:50
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                      有数学归纳公理
                      IP属地:英国来自Android客户端13楼2022-07-02 12:58
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                        数归是很多运算的基础，比如你学过乘法分配律a(b+c)=ab+ac，然后你自然就知道他对括号里n个数也成立，这中间就是需要归纳法的
                        可以去练几道复杂一些的题目看看，比如证一下二项式定理
                        IP属地:陕西来自Android客户端14楼2022-07-02 13:26
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                          自然数集上的加法交换律、结合律都要用数学归纳法来证。
                          举个例子：
                          (a+b)+c = a+(b+c)
                          这个等式对任意自然数a,b,c都成立，需要用数学归纳法来证明，因为最初只定义了二元的加法。
                          一切有限连加式中的任意两个元素交换后整体的计算结果不变也是由数学归纳法保证的。
                          IP属地:安徽来自Android客户端15楼2022-07-02 16:25
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