这是大学的数学知识。如果从皮亚诺公理出发，整数就是自然数的加减，有理数是整数的和非0整数的比值。有理数到实数这一步，由于中小学知识量不够，而且数学能力还不够所以直接跳过，或者用很粗糙的办法大概给出一个不严谨的定义，比如说实数就是所有小数之类的。从而出现很多问题。比如一个数学概念是不应该取决于它的表示方法的，但如果用小数定义实数，很显然是依赖于它的表示法，不严谨会出现问题。
从有理数到实数这一步，是通过完备化得到的。我们称一个有理数的柯西数列和另外一个柯西数列等价，如果它们的差收敛到0。所有有理数柯西列的等价类就是实数集，一个实数就是一个有理数柯西列的等价类。
大致上的意思是，只给你有理数，你可以找到一些数列，这些数列很像是有极限的，后边的项越来越近，而且数列后边的数集中在某个点的附近，这种数列叫柯西列。但是如果只有有理数，有的柯西列会找不到极限点。我们发现只要补一个点，就能使得柯西列有极限，把这个点称为无理数。通过这种方法，就把所有柯西列的极限全找出来了，这叫完备化