可能大家见过ψ(Ω^Ω^Ω)或者ψ(Ω_ω),ψ(ε_(Ω+1))这样的东西但又不知道有多强,本贴给大家入个门。
这个ψ函数的值是基于“最小的不可用某种方法达到的序数”。它不使用veblen φ函数枚举不动点的思路。
首先我们有一个集合C_0={0,1,ω,Ω},这里Ω是第一个不可数的序数。然后后面的每一个集都包括前一个集的元素进行三个基本运算:加,乘和乘方。然后集里还包括使用ψ函数在某个序数以下的值。
先考虑ψ(0),因为没有序数小于0,所以图中第二行的第三个部分可以忽略。那么C_0包括{0,1,ω,Ω},C_1包括C_0里的元素进行加乘乘方。所以C_1包括{0,1,2,ω,ω+1,ω^2,Ω}和一些其他东西。C_2可以使用C_1里的元素进行运算,所以C_2里多了3,4,ω^ω^ω,ω*4一些别的,还有一些和Ω有关的序数。
这么一直算下去,如果你熟悉Cantor Normal Form你一定会发现每一个小于ε_0的序数总会在某一步被制造出来。而ε_0永远达不到。因此最小的,C里没有的序数是ε_0。大于ε_0的序数C里有,不过都是带Ω的不可数序数。因此ψ(0)=ε_0。
这个ψ函数的值是基于“最小的不可用某种方法达到的序数”。它不使用veblen φ函数枚举不动点的思路。
首先我们有一个集合C_0={0,1,ω,Ω},这里Ω是第一个不可数的序数。然后后面的每一个集都包括前一个集的元素进行三个基本运算:加,乘和乘方。然后集里还包括使用ψ函数在某个序数以下的值。
先考虑ψ(0),因为没有序数小于0,所以图中第二行的第三个部分可以忽略。那么C_0包括{0,1,ω,Ω},C_1包括C_0里的元素进行加乘乘方。所以C_1包括{0,1,2,ω,ω+1,ω^2,Ω}和一些其他东西。C_2可以使用C_1里的元素进行运算,所以C_2里多了3,4,ω^ω^ω,ω*4一些别的,还有一些和Ω有关的序数。
这么一直算下去,如果你熟悉Cantor Normal Form你一定会发现每一个小于ε_0的序数总会在某一步被制造出来。而ε_0永远达不到。因此最小的,C里没有的序数是ε_0。大于ε_0的序数C里有,不过都是带Ω的不可数序数。因此ψ(0)=ε_0。