可能大家见过ψ(Ω^Ω^Ω)或者ψ(Ω_ω)，ψ(ε_(Ω+1))这样的东西但又不知道有多强，本贴给大家入个门。
这个ψ函数的值是基于“最小的不可用某种方法达到的序数”。它不使用veblen φ函数枚举不动点的思路。
首先我们有一个集合C_0={0,1,ω,Ω}，这里Ω是第一个不可数的序数。然后后面的每一个集都包括前一个集的元素进行三个基本运算：加，乘和乘方。然后集里还包括使用ψ函数在某个序数以下的值。
先考虑ψ(0)，因为没有序数小于0，所以图中第二行的第三个部分可以忽略。那么C_0包括{0,1,ω,Ω}，C_1包括C_0里的元素进行加乘乘方。所以C_1包括{0,1,2,ω,ω+1,ω^2,Ω}和一些其他东西。C_2可以使用C_1里的元素进行运算，所以C_2里多了3，4，ω^ω^ω，ω*4一些别的，还有一些和Ω有关的序数。
这么一直算下去，如果你熟悉Cantor Normal Form你一定会发现每一个小于ε_0的序数总会在某一步被制造出来。而ε_0永远达不到。因此最小的，C里没有的序数是ε_0。大于ε_0的序数C里有，不过都是带Ω的不可数序数。因此ψ(0)=ε_0。

当我们计算ψ(1)的时候，C里会有ψ(0)（因为0在C里，0小于1，所以ψ(0)在C里）。与此同时C里还会有所有小于e0的序数。而C的构造过程中，会对ε_0进行各种运算。稍作思考后得出这种运算方法得出的序数不会达到ε_1，所以最小的不会被构造的序数是ε_1。因此ψ(1)=ε_1。
ψ(2)=ε_2同理，以此类推，ψ(ω)可以使用一切ψ(n)（n是整数），ψ(ω)=ε_ω。
ψ(ψ(0))=ψ(ε_0)，它等于ε_ε_0。
似乎对于很多序数都有ψ(α)=ε_α。这一现象持续到ψ(ζ_0)=ζ_0。
当我们计算ψ(ζ_0+1)时，先考虑一下C里有哪些序数。0,1,...,ω,...,ε_0,ε_1,...ε_ε_0...等等都在C里，但是C里没有ζ_0。虽然可以对小于ζ_0+1的序数进行ψ运算，但是ζ_0始终不在C中，因此ψ(ζ_0+1)=ζ0。
我们发现对于任何大于ζ_0的可数序数均有ψ(α)=ζ_0。因为ζ_0暂时无法用任何办法构造出来，所以函数在剩下的可数序数均为常数。
ψ(Ω)可以在ψ里放已经构造出来的任何可数序数，因此他等于ζ_0。
从ψ(Ω+1)开始，由于Ω第一步就被加入集合C，因此它可以放入ψ，所以集合C包括ψ(Ω)。对它进行各种运算，上限是ε_(ζ_0+1)。
ψ(Ω+ζ_0)=ε_(ζ_0•2)，此时ζ_0早已出现在C里，因此ψ(Ω+ζ_0+1)=ε_(ζ_0•2+1)。
ψ(Ω+ψ(Ω+1))=ψ(Ω+ε_(ζ_0+1))=ε_ε_(ζ_0+1)，以此类推。
ψ(Ω+ζ_1)=ζ_1，因为ζ_1无法用ζ_0，加法，乘法，乘方和ε函数构造。ψ(Ω•2)=ζ_1。
ψ(Ω3)=ζ_2, ψ(Ωω)=ζ_ω, ψ(Ωψ(Ω))=ζ_ζ_0,ψ(Ω^2)=η_0。
ψ(Ω^ω)=φ(ω,0), ψ(Ω^Ω)=Γ_0, ψ(Ω^Ω^2)=φ(1,0,0,0), ψ(Ω^Ω^ω)=φ(1@ω)。
然后ψ(Ω^Ω^Ω)=我们熟知的LVO。
这套系统的极限是ψ(ε_(Ω+1))，因为ε_(Ω+1)不会被任何方式构造，所以函数在它以后都是常数。ψ(ε_(Ω+1))被称为BHO。

继续

可以 很强

其实我觉得可以把第二行中的“C_n(α)∪”去掉，因为C(α)最后会把所有C_n(α)包含在里面的

顶🔝

果然精了，有更新的动力了

更新了更新了
现在我们引入有下标的ψ。
ψ_1可以使用所有的可数序数，也可以使用 Ω和Ω_2（第二个不可数序数）。
计算ψ_1(0)的时候，先考虑对Ω进行三则运算（加法乘法乘方，后面略）。我们可以得到类似Ω^Ω,或者Ω^2这样的序数，还有Ω^Ω^Ω...指数塔。然后考虑到可以使用所有的可数序数，因此可以得到Ω+1,Ω*ω,等等。用这种方法，模仿Cantor Normal Form可以得到所有小于ε_(Ω+1)的序数。而没有序数小于0，因此第二行的后半部分不起作用。ψ_1(0)=ε_(Ω+1)

这个函数的意义在于可以创造不能用三则运算得到的不可数序数。上一部分讲到的BHO=ψ(ε_(Ω+1))=ψ(ψ_1(0))，引入ψ_1后可以超越。例如ψ(ψ_1(0)+1)就大于BHO，它等于ε_(ΒΗΟ+1)。
当你考虑引入了下标ψ函数后，这个OCF的定义就变了，上一部分的ψ(ε_(Ω+1)+1)是BHO，这一部分就不同了。因此写出ψ(ε_(Ω+1)+1)这样的序数时要先规定这套系统使不使用带下标的ψ函数。
继续计算ψ_1(1)，它的集C里有前面出现的所有的序数，然后还包含ψ_1(0)进行三则运算的结果。（ψ由于只返回可数序数，这里暂不考虑）虽然同时也会出现还没见过的ψ_2(0)，但是后面会讲到这个序数大于Ω_2，因此不用考虑。ψ_1(1)=ε_(Ω+2)。
同理可以得到对于足够小的α有ψ_1(α)=ε_(Ω+1+α)，而且直到ζ_(Ω+1)之前都不会出现函数某个范围内是常数的现象。ψ_1(Ω_2)=ζ_(Ω+1)，然后继续得到ψ_1(Ω_2+1),ψ_1(Ω_2^Ω_2)等等。

ψ_2(0)=ε_(Ω_2+1)，算法很简单这里不赘述了。
ψ_2(Ω_3)=ζ_(Ω_2+1)，以此类推。
ψ_ω(0)=ε_(Ω_ω+1)
如果不使用下标为超限序数的ψ，这套系统的极限是ψ(Ω_ω)，加入后极限变得大一点但没有太大的改变。
注意到ψ(ψ_1(Ω_2))=ψ(Ω_2)，而ψ的值在ψ_1(Ω_2)和Ω_2之间是常数。因此ψ(ψ_1(Ω_5))=ψ(Ω_2)，等等。
ψ(ψ_2(Ω_3))=ψ(Ω_3)，ψ(ψ_ω(0))是我们熟知的TFB。（一般不这么写， 一般写成ψ(ε_(Ω_ω+1))）。

这是最终版，取消了ν必须小于等于ω的限制。同时修复了上面的一个bug。
极限ψ(Ω_Ω_Ω_...)
当你遇到ψ(Ω_α)对于某个可数序数比较大的时候，会出现ψ(Ω_ψ(Ω_...))这样的情况，它的不动点是ψ(Ω_Ω)。
后面就叠Ω_α了。
全贴完

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K,T,I,x函数，M呢？

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