二重极限, 多元函数连续性, 可微定义, 偏导数定义

二楼

三楼

二重极限存在的常见解法：直接代值法。
和一重极限的直接代值法类似。
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如果 x 和 y 代入之后，不出现极限的七种未定式，就可以将 x 和 y 代入。
初等函数在定义域内连续。
如果二元函数f(x,y)在P(x0,y0)连续，则lim x->x0, y->y0 f(x,y) = f(x0,y0)
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直接代值的例题。
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一重极限的很多方法，也适用于二重极限。
注意：
二重极限中，一般不使用泰勒公式，一般也不使用洛必达法则。
但如果使用换元法，将二重极限转为一重极限后，就可以使用泰勒公式和洛必达法则了。
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泰勒公式贴的链接：
http://tieba.baidu.com/p/6093533023
泰勒公式贴里面讲了一重极限的各种理论和各种定理的使用条件，请熟练掌握里面的理论知识。
泰勒公式贴的59楼和60楼的极限代值的理论，一定要掌握。也就是什么情况下才可以代值?
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以下方法适用：
1. 极限四则运算法则。
2. 极限四则运算法则的推广：
泰勒公式贴的5到8楼有讲。
3. 等价无穷小的使用。
泰勒公式贴的20楼中有讲。
4. 取对数的使用。
泰勒公式贴的26楼中有讲。
5. 夹逼准则。
6. 有界量乘以无穷小量。
7. 换元法，转为一重极限。
8. 分子分母有理化，三角函数恒等变形，对数函数恒等变形，指数函数恒等变形。
9. 无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量。
10. 零比零才有极限。
泰勒公式贴的30楼中有讲。

利用等价无穷小替换。
后面会有很多例题用到。
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利用恒等变形。
例如：分子有理化，或者分母有理化，或者分子分母同时有理化。
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分子有理化的例子：
约分xy之后，直接代值。
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下面这题也可以令 t = xy，t --> 0，转为一重极限进行计算。
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x+y看成整体，等价无穷小。
此题也可以令 t = x+y，转为一重极限进行计算。
此题也可以用分子有理化。
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等价无穷小。
实在想要追求严谨性，可以分 a 等于零和 a 不等于零两种情况讨论。
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等价无穷小。
也可以令 t = x² + y², t --> 0+，转为一重极限进行计算。
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幂指函数，1的无穷型次方未定式的极限。
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对于底数极限是1，指数极限是无穷大量，也就是1的无穷型次方未定式。
和一重极限的取对数计算方法一样。
注意：
1的无穷型次方未定式。。。
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取对数，将极限符号移到指数部分，然后 ln 等价无穷小。
现在我们已经将幂指函数转化为乘法，后面正常计算就可以了。
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这种题型的题目非常多，这里只举几个例子。
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取对数。
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取对数。
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取对数。
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这种题型很常见。
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基本解法有两种。
第一种是有界量乘以无穷小量。
第二种是均值不等式放缩，夹逼准则。
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在二重极限中，绝大部分使用夹逼准则的题目，他的极限都是零。
所以一般都是取绝对值之后再进行放缩。
夹逼准则左边取零，右边取无穷小量。
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有界量乘以无穷小量。
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有界量乘以无穷小量。
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极限四则运算法则的使用。
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乘法拆开两个极限。拆开极限之后，后面的极限才可以代值。
前面的极限转为一重极限进行计算。
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分子有理化。
乘法拆开两个极限。拆开极限之后，后面的极限才可以代值。
加法拆开两个极限。
有界量乘以无穷小量。
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无穷小量的倒数是无穷大量。
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等价无穷小。
我们计算原式的倒数。
有界量乘以无穷小量。
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幂函数趋向无穷大的速度比指数函数慢。
这个是一重极限的性质，使用洛必达法则易证，这里直接使用结论。
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这里讲一个题目的两种解法，当然你也可以用其他的解法。
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将 x+y 看成整体，也可以换元转为一重极限。
有界量乘以无穷小量。
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加法拆开两个极限。
乘法拆开两个极限，转为一重极限处理。
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对数函数趋向无穷大的速度比幂函数慢。
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幂指函数。
0的0型未定式，无穷的0型未定式。
将底数取倒数，指数前面加个负号，则两种未定式可以相互转化。
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对于这类题目，解法和一重极限类似。只要底数大于零，就可以取对数转为乘法。
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这里加上绝对值是为了防止对负数开根号，为了保证极限有定义。
这类题目，基本都是转换为一重极限进行计算。
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解法1：
恒等变形。
有界量乘以无穷小量。
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解法2：
恒等变形。
有界量乘以无穷小量。
因为 x 和 y 的地位相同，所以交换 x 和 y 是另一种解法。
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幂指函数取对数。
详细计算过程见后面的图。
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对数函数趋向无穷大的速度比幂函数慢。
有界量乘以无穷小量。
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取对数。
对数函数趋向无穷大的速度比幂函数慢。
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讲解几个例题，总结一种常见题型。
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解法见后面的图。
主要使用：
拆开极限。
有界量乘以无穷小量。
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拆开极限。
有界量乘以无穷小量。
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这里加上绝对值是为了防止对负数开根号，为了保证极限有定义。有界量乘以无穷小量。
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这里加上绝对值是为了防止对负数开根号，为了保证极限有定义。
有界量乘以无穷小量。
上图的推广。
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两种解法：
第一种解法：蓝色是有界量，利用有界量乘以无穷小量。
第二种解法：化为上面的推广，计算 a + b = 3/2 > 1，所以极限为零。
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两种解法。
第一种解法：化为上面的推广。
第二种解法：均值不等式，有界量乘以无穷小量。
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讲解一种题型。并附上两个例题。
平均值不等式。
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下图的红色满足上图14楼的推广，所以极限是无穷小。
红色后面的那项式子，经过证明是有界量。
所以最终极限是零。
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附上例题。
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附上例题。
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