首先，说说“祖”和“宗”有什么不同。
《孔子家语》曰：“祖有功而宗有德”，这就是“祖”和“宗”的区别，即有功曰祖，有德曰宗。这里的功，指开创之功，这里的德，指守成之德。——这也就解释了为什么开国皇帝多称祖，而守成皇帝为什么多称宗。

下面再说说高祖和太祖。
庙号起源于商代，但周朝没有实行，真正开始实行庙号制度，其实是从汉朝开始的。——换言之，实质上刘邦是我们所能真正了解的第一个拥有庙号的人。
《史记》、《汉书》都记述了给刘邦确定庙号和谥号的过程：“群臣曰：‘帝起细微，拨乱世反之正，平定天下，为汉太祖，功最高。’上尊号曰高皇帝。”——显然，刘邦的庙号是汉太祖，谥号是高皇帝。
但是，包括司马迁在内的所有人，都把刘邦叫“汉高祖”，这是为什么呢？我认为，这主要是因为刘邦是第一个被上庙号的人（在此之前，只有八百年前的商朝有过庙号，几乎可以忽略不计了），所以庙号制度非常不完善，所以也没人在乎太祖到底是什么玩意，所以当时人就直接用谥号“高”来指代刘邦的宗庙了，称之为“高祖庙”。——你看，两个称号简化成了一个，多方便。
在宗庙制度里，“太祖”是有特殊含义的，所谓天子七庙，最流行的学说就是“一祖二宗四亲庙”。这个“一祖”，指的是始祖，即所谓始受封者，即第一个接受分封的人，在商为契，在周为后稷。所谓“二宗”，即指太祖和太宗，其中太祖是始受命者，即第一个接受天命的人，在周即为周文王。对汉朝而言，刘邦既是始受封者，又是始受命者，所以按照宗庙制度，他被称为太祖是合情合理，顺理成章的。

但是，“高祖”是个什么玩意？这东西以前在宗庙系统中肯定没有这个，正是由于汉朝初年宗庙制度不完善，瞎JB乱叫，把刘邦的谥号和庙号叫混了，才搞出了个“高祖”这个东西。——但既然已经搞出来了，那自然也就成了庙号的一种了。
正因为如此，所以汉及其以后相当长的一段时间里（起码是宋辽之前），太祖和高祖是基本没有区别的，两个地位、功业差不多的皇帝，往往这个叫太祖，那个叫高祖，混着来。
比如汉朝之后就是魏，曹操（始受封）是太祖，曹丕（始受命）是高祖。晋朝，司马懿（始受封）为高祖，司马昭为太祖。正好相反。十六国时，后赵石勒（始受封+始受命）为高祖，石虎为太祖；前秦符洪（始受封）为太祖，符健为高祖，又正好相反。南北朝时，刘裕（始受封+始受命）为高祖，刘义隆为太祖。萧衍爸爸为太祖，他自己（始受封+始受命）为高祖，陈朝也是一样，陈霸先他爸爸是太祖，他自己是高祖。隋朝杨忠（始受封）为太祖，杨坚（始受命）为高祖。唐朝李虎（始受封）为太祖，李渊（始受命）为高祖。到五代时，大家都是草头王，也没个始受封和始受命啥的，但朱温、李克用、郭威等为太祖，而石敬瑭、刘知远等为高祖。
这种混乱的局面，正好说明了当时高祖和太祖没有什么区别，两者是等价的，有时候高祖在上，有是太祖在上。
从宋辽开始，赵匡胤、耶律阿保机、完颜阿骨打、成吉思汗、朱元璋、努尔哈赤都是始受封+始受命，全部为太祖，再没“高祖”这个玩意出来捣乱了。

最后再回答一下“为啥顺治是宗，康熙却是祖”的问题。
先指出一点，顺治也是祖，世祖。
前面说了，有功曰祖，有德曰宗。那些开国皇帝都有开创之功，因此都是祖。但如果后世继承者中也有开创之功的，自然也是祖。比如刘秀中兴汉室，有开创之功，是为汉世祖。不过呢，从曹魏开始，一下子就搞了三个祖（太祖曹操，高祖曹丕，烈祖曹睿），一下子就把祖的这个严肃性给打破了，后世就有许多朝代学曹魏，搞许多的祖出来，因此有人认为祖号之滥，实肇于此。
不过康熙和顺治这个，倒不是瞎搞，顺治入关，厥有大统，自然是开创之功。至于康熙，《清史稿·圣祖本纪》曰：“圣祖仁孝性成，智勇天锡。早承大业，勤政爱民。经文纬武，寰宇一统，虽曰守成，实同开创焉。”所以为“圣祖”。
顺便说一句，还有个非常著名的祖，就是明成祖朱棣，他本来的庙号是太宗，后来嘉靖为了把自己爹放进太庙，硬是给朱棣升了一级，说他靖难有功，实同开创，应该叫祖。——不过靖难这事情说破天也是叔篡侄，臣伐君，我猜朱棣其实根本不想拿它说事吧，嘉靖这么搞也太戳人痛处了。