拓扑学的起源与技巧
一百年前这个学会创建之初，拓扑学几乎还不存在。而今，它已赫然处在数学的中心位置，其影响扩展到了所有的方向。现在似乎正是一个合适的时机去试图了解它是怎样产生的，并试图描述出拓扑学与其他较为古老的数学分支之间的那些复杂的、引人入胜的相互作用的粗略轮廓。
倘若回顾一下19世纪，我们就可以辨认出一些能够充做拓扑学发源的思想和成果。然而，如果说具有拓扑思想的最富意义的例子产生于代数函数的黎曼（Riemann)面理论，那大概是不会错的。就就让我们从简要地描述这个例子开始吧。
我们从在复射影平面上的（非异）代数曲线着手。它定义了一个紧黎曼面，承载它的是一个实的二维微分流形，而最下面的是它的承载拓扑空间。换句话说，我们有了一个分层结构:
代数的→全纯的→可微的→拓扑的
对这种情形，我们可以提出两个基本问题。首先什么是这个承载拓扑空间的不变量；其次，怎样用它的“上层结构”来解释这些不变量。在我们这个特殊的例子中，本质上只有一个曲面拓扑不变量。
即亏格（或者说，环柄的个数）、这个理论的经典结果告诉我们，这个数就是黎曼面的全纯（或代数）微分空间的维数。这是用代数或全纯结构解释了亏格g。而著名的高斯（Gauss)定理说，曲面的曲率积分等于2-2g。而它可以看做是用微分结构给出g的一个令人满意的解释。
格代数函数论推广到高维情形一直是过去百年来的主要数学热点。这方面的进展总是与拓扑学的发展紧密相连。目前，寻找拓扑不变量的解析涵义这种一般性的问题已在层论中发现了它的一个最令人满意的构架。粗略地可以描述如下。
在相当早的阶段，拓扑学家们已经认识到，考虑不单使用整数为系数而是以一般群作系数的同调论是有用的。而在层论中，人们不仅使用常数而且使用某些指定类型的函数作系数，例如全纯函数。因此，所得到的上同调群不但是承载空间的不变量而且是上层结构的不变量。如此一来，拓扑的问题与解析的问题就融合在一起了。
相对于前面简要提及的拓扑学由其他学科产生的方式，我们考虑问题的另一个方面，并提出如下问题：什么是拓扑学的问题，如何解决它们?拓扑学的基本问题是同伦。给定两个拓扑空间X及Y，考虑它们之间的所有连续映射f：X→Y。我们
想要在同伦的意义下，即在连续形变下，将它们分类。处理这个问题的首要步骤是逼近。由于连续映射不好处理，我们想根据不同的要求将它用不同的但是较小的且较易于处理的映射类去代替、去置换。对多面体我们用逐段线性映射，对微分流形我们用可微映射，而对代数簇则可以（有时）用多项式。在作了逼近之后，我们就必须使用那些适合于这种函数类的技巧，从而把我们又带回到代数或分析中。由此可知，拓扑学不仅在灵感的获得上而且在解决问题的技巧上都必须依赖于其他的数学分支。
在上述三类逼近中，最重要的一类是逐段线性映射，这是因为它有最广泛的应用范畴。这时所需要的技巧是组合数学或代数学。然而，由于代数学家没有事先发展出这种代数，那么就只好由拓扑学家来创建他们自己的代数了。这些为拓扑学而创立并发展起来的代数技巧已被证实对于纯代数学的许多分支具有相当基本的重要性。这一点正是我所讲述的这个故事中非常引人注目的一个部分。
为了清楚说明这一点，让我（阿蒂亚）给出三个例子，它们都是属于那种被称作连续性对离散性的影响的东西。