如果，按数学严谨的逻辑应该怎么做呢。我们可以完全依照公理与逻辑从自然数理论（可以用ZFC或者皮亚诺公理导出自然数的相关理论），发展出有理数理论，再而发展处实数理论。理由实数的完备性的公理，发展处极限理论、微积分理论，再而级数和微分方程理论。这些基础，都可以只依赖于公理体系和形式逻辑，而不依赖与感觉。于是本文就用这些理论来定义三角函数，已经推倒三角函数的性质。——本文将用无穷级数定义三角函数。利用无穷级数或微分方程也是到目前为止，严谨的定义三角函数的最佳方案。
定义三角函数的核心也就是定义正弦和余弦函数，下面我们会围绕这个来展开讨论。
我们用级数来定义下面两个函数：

我们后面证明的公式，很多可以利用级数之间的四则运算直接得出(比如2sinx cosx = sin(2x)之类)，但是我们哆嗒君并不打算这样做，下面所有的关键推导，我们都尽量避开一些艰深的级数间运算的技巧，虽然那很直接（比如证明存在使得sinx小于0的x的时候，可以直接估计计算sin5,sin6之类），但是，对一些普通人来讲，那过于麻烦了。

1、 π的定义
上面两个级数对任意实数x都是收敛的。而且很容易看出sin0 = 0， cos0 = 1 。
另外我们也很容易得到上面两个定义后的函数的奇偶性，即是说：

根据无穷级数的相关理论上面的两个级数都是连续，可微，且求导导数的时候还可以使用逐项求导的方法。
于是我们得到

于是有，

说明sin² x + cos² x 是常数，代入x = 0，得到

利用上面的式子，我们还能得到关于两个函数的上下界的不等式。

注意到sin x 连续可导，导函数在零点为cos0 = 1 > 0,说明sinx 在0 点的某个右邻域内单调递增，从而在某个区间(0,δ)上，sin x > 0。(*)
我们估计一下来说明sinx存在大于零的零点。这只需要说明sinx有取得负值的点。显然，sinx，cosx在任何区间上都不恒为常数，于是我们假设sinx > 0恒成立，这时cosx是单调递减的，用下面两部分文字来推出矛盾。
若cos x 非负恒成立，则有sinx单调递增，于是由单调有界原理，可设

则由拉格朗日中值定理，有下面的矛盾：

若存在y使得cos y小于零，那么当x≥y时，cos x < 0，说明在这个区间上sin x单调递减。
于是由单调有界原理，可设

则由拉格朗日中值定理，有下面的矛盾：

于是，存在y，使得siny < 0，也就是说存在x > 0，使得sinx = 0。
于是我们把下面的实数定义为π。

因为sinx的连续性和(*)的结论，上面的下确界inf符号其实可以换成最小值min，即有π > 0 ，sinπ = 0 。

2、 和角公式和诱导公式
这一部分的内容需要用到常微分方程的相关理论。
注意到，sinx与cosx 都满足下面这个二阶常系数线性方程：

因为sinx和cosx是线性无关的。于是上面方程的解一定有形式：

而对应任意实数y，sin(x+y)也满足上述方程。所以

代入x = 0，x = -y 得到

同理可得，

于是我们得到了和角公式。
令x = y = π/2 , 得到

注意到由π的定义可得sin(π/2) > 0，可以得到 cos(π/2) = 0, 从而利用sin²x+cos²x=1这个式子得到sin(π/2)=1。再利用一下cos x 在[0, π]的单调性（由π的定义这个区间上cosx 的导数-sinx 非正），得cosπ=-1。
于是反复使用以上公式，我们得到诱导公式，

于是我们知道2π是sinx 和 cos x 的一个正周期，实际上它还是最小的正周期。比如用sinx来说，2π不是最小的正周期，那么存在正数T < 2π还是sinx的正周期，下面三种情况都会得到矛盾。
若T < π ， 则 0 = sin0 = sin( 0 + T ) = sinT ≠ 0 。
若T = π ， 则 1 = sin(π/2) = sin(π/2 + π) =- sin(π/2) = -1 。
若π < T < 2π ， 则 0 < T-π< π ， 有 0 = sin 0 = sin( 0 + T ) = sinT = -sin(T-π) ≠ 0 。
于是，正弦和余弦函数关于周期的性质我们也得到了。
反复利用和角公式，我们得到正弦和余弦二倍角公式是三倍角公式。

利用这些公式，我们得到常用的一些特殊锐角的值，

4、 圆的周长和面积公式
我们知道，圆的周长和面积都是由解析式x²+y²=r²(r > 0)，所围成图形决定的。而对于这样图形的面积和曲线长，我们利用积分（依赖于极限）有严谨的定义。
对于面积，由于对称性，我们计算下面这个定积分的4倍。

而对于后面的积分，令其为I，我们有

得到I = πr²/4 , 那么它的4倍就是半径为r的圆的面积,πr²。
对于连续可导的函数y = f(x) ，在区间(a,b)上的那一断曲线长为：

于是由于对称性，圆的周长就是下面这个定积分积分的4倍。

于是4倍就得到半径为r的圆周长2πr。
我们通过上面的积分计算，建立起了圆的两个重要几何性质与之前定义的π的联系。最后我们要看看，π的值到底是多少。

5、 π的值是多少
微积分中，我们知道，下面的公式（|x| < 1，规定(-1)!!= 0!! = 1）：

得到：

两边积分有，

代入x=1/2 有

这个级数的收敛速度还不错，要计算到3.14…..的精度只需要计算4项，计算到3.1415926......的精度只需要10项，耐心一些用手算都可以出结果。它比一般高数书给出的用arctanx的展开式计算π/4的速度快了不少，而后者，就算计算到500项也得不到3.14......的近似值。
学数学一定追求严谨到极致？
有句话说得好，数学的严谨就像衣服，太紧了不行，太松了不好。如果用这种最严谨（目前）的方式来作为起点学习三角函数，这种丧失全部直观的方式其实并不符合人们认识新事物的规律。另外，由于理解这种方式，需要对实数理论、微积分相当熟悉，而后者要到大学才开始接触，会拖后三角函数的学习进程。毕竟大部分人使用三角函数，都是使用其函数性质而非它的逻辑底层，完全没必要把这部分知识放在那么后面。
但是，如果我们追求一个理论的逻辑上的完美，在有一定数学功底之后，来回味一下从实数的基本理论来建立三角函数（或者其他初等函数）的过程，借此品尝一下数学的“极致严谨”小甜点也是一件很有趣的事情。
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