温馨提示：三楼给证明。所以想自己思考的同学不要往下翻哦

证明：设0<r=x/y=(a^3+b^3)/(c^3+d^3)=(a+b)(a^2-ab+b^2)/(c+d)(c^2-cd+d^2)
于是我们令a+b=kx,c+d=ky，k为正整数
则有(kx)^2-3ab=(ky)^2-3cd (1)
设a=mx+ny，m,n均为非负整数，则b=(k-m)x-ny
所以(kx)^2-3ab=[k^2-3m(k-m)]x^2+3n^2*y^2+3n(2m-k)xy
由(1)式的对称性必有n^2=k^2/3-m(k-m)
不妨令k=3，得n=1，m=1或2，取m=1，则a=x+y,b=2x-y,交换x,y，得c=x+y，d=2y-x
由于b>0,d>0，得1/2<x/y<2
对于任意正有理数r=x/y，均存在正整数p,q, s.t. cube root(1/(2r))<p/q<cube root(2/r)
故1/2<(p/q)^3*r<2
故(p/q)^3*r=(a^3+b^3)/(c^3+d^3)，其中a,b,c,d都是正整数。
故r=[(qa)^3+(qb)^3]/[(pc)^3+(pd)^3]
Done!
解答者：孟灏
2015年02月13日

注：由于0<b<=(k-m)x，故(k-m)>=1，故n^2<=k^2/3-m
所以若k=3，则n^2<=3-m<=3，故只能有n=1