【无聊作】2048定理

公理
设an是方阵中的数字，则an=2^k(k为正整数).
n和n(n=2^k)可以合并为n^2k.

定义：
一串能够一笔画出的数字称作一个序列。
按照序列的走向定义a1,a2,...an,若对于任意的p<q≤n,都有aq/ap≥1(aq/ap≤1)，则称这个序列为有序序列。

定理：
1.一个有序序列可以合成为一个数，当且仅当该序列满足以下条件：
a(n+1)/an=2,n为大于1的正整数。
a(n+1)=an,n=1.
证明：
必要性显然，下面证明充分性。
设ak为有序序列中的任意一项，k≤n，且满足ak/a(k-1)≠2,那么可以设ak=2^k+t(t为正整数)
若k=1且ak≠a(k+1),则ak与a(k+1)无法合成，a(k+2),(k+3),...an由于各不相等，所以无法合成。
若k>1,且a1=a2,则从a1开始合成。从a1合成到a(k-1)合成了2a(k-1)≠ak,所以合成无法继续进行，与题意矛盾。

2.有序序列能够合成为一个数字，当且仅当其所有项的和为2^m(m为正整数).
充分性：设a1=t,那么a2=t,a3=2t,a4=4t,...an=2^(n-2)t.(n>1).
显然这个序列可以合成；a1+a2+a3+...+an=2^(n-1)t.
又因为t=2^k(k为正整数),所以充分性成立。
必要性：假设所有项之和为2^m+p(p≠(2^a-1)2^m,p为正偶数，a,m为正整数)
显然所有项的和不等于2^(a+m).
假设增量p是由一个数ai增加引起的(这个过程中不破坏序列的有序性),
由于a(i-1)和a(i+1)不变，那么显然ai/a(i-1)≠2且a(i+1)/ai≠2，所以序列无法合成。
假设增量p是由一部分数(个数小于m)的增加引起的，那么设增加的这些数为a(j1),a(j2),...a(jn),那么必然存在一个数a(jk),使a(jk-1)不变。由上面推论，a(jk)/a(jk-1)≠2,序列无法合成。
假设增量是由全体数引起的，那么只有分配到每个数的增量与每个数成比例时，序列才能继续合成，该比例为(2^a-1).于是分配到所有数的增量之和等于2^d(d为正整数),与原假设矛盾。
综上，必要性成立。
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膜拜

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反膜拜。

怎么玩！

强贴留名……

。表示还不是完整版。