第一章：神秘的拓扑数
第一节: 欧拉数
金庸的《倚天屠龙记》中有一段关于张无忌学太极拳的描述。 说的是张三丰教张无忌太极拳， 张无忌跟着演练了几次就像模像样了。 张三丰问他：无忌， 你还记得多少？ 无忌回答：记得八成。 过一段时间后张三丰又问：无忌，还记得多少？ 张无忌说：还记得五成。 到最后再问的时候， 张无忌回答说：我已经全忘了。 于是练成不世神功太极拳。讲的是一个道理：大道浑然天成，不拘泥于招式。正所谓：无招胜有招。 可是对于见识浅陋的人来讲， 这无招岂不是变成了泼皮打架，全无章法？ 可见天才与凡人之间还是有着数量级的差距的。 其实这个故事有另一个江湖的版本， 就是数学领域中拓扑学的建立过程。诸君可能要问：数学怎么成了江湖？ 那数学家们岂不是都是江湖侠客或者盗匪？ 其实数学领域的确最像江湖， 各种惊才绝艳的人物统领这个江湖。 各种各样的理论分支就和各大小门派一样。 一般是祖师爷创下内功心法， 门徒们苦思招式， 最后成就一个门派。 这里要说的是拓扑学这个超级大派的建立的过程。数学的两个超级宗门是代数和几何，天下门派，无不源流于这两个超级宗门。200多年前， 数学家们孜孜以求的几何学和欧几里德的几何学没有太大的差别。 他们的想法朴素而实用， 就是通过长度，方向，连续这些基本的几何概念去构造抽象的几何世界。 当时的几何学， 还是以精确为主导方向。 譬如剑法， 求的是快和准。 这时候， 莱布尼兹提出， 如果我们抛弃长度和方向， 仅仅考虑连续的话， 对应的几何学是什么样的呢？ 这个问题等于说是， 我们抛弃快和准，怎么去练剑法？ 此论一出，几何学各大门派长老均不以为然。 莱布尼兹见大家毫无兴致， 于是搁置不谈。直到另一位天才横溢的宗师级的人物出场， 才重新捡起了这个被当时嘲笑为“橡皮泥的几何学”的东西。 他名叫欧拉。欧拉最先意识到这样的几何学会有很深远的影响。 虽然欧拉并没有写下拓扑学的内功心法。但他创出了一招， 这一招包含的深刻含义直到100多年后才被嘉当悟透。难以想象，失去了精确性的几何学会有什么样的用途。 这样没有速度和准度的剑法能够应用到实际中么？ 事实证明，这个几何学大巧不工，气势磅礴， 其影响遍及现代几何学的各个分支。而200年前，欧拉就已经洞察到了它的优美和力量，只因为他领悟了忘记长度和方向才能找到这种几何的根源。欧拉创出的第一个伟大的招式是：欧拉示性公式。 后来另一位和他并称一时瑜亮的几何大宗师高斯， 把这个公式推广到了连续一般情形。 但一直没有公开，准备当成内功秘籍传给弟子们。 几年后，另一个数学家博内同样做了这样的推广，得到了和高斯一样的公式。 史称：高斯-博内公式。至此，拓扑学这个几何学下的超级大派走上了舞台， 并且成为数学领域的几大霸主之一。我们现在先回到欧拉的出发点， 去探寻那个“倚天一出，谁与争锋”的波澜壮阔的历史。
欧拉示性公式是非常优美简洁的公式, 这延续了欧拉的工作的特征, 他的公式总是简单到了极致,而又深刻到了极致. 欧拉数是第一个神秘的拓扑数， 它的出现对于整个拓扑学有着无比深远的影响。这个公式非常简单：对于任意的一个凸多面体，它的顶点数为V， 棱数为E， 面的个数为F， 那么其必然有如下等式：V+F-E=2. 也就是说， 顶点数和面数之和比棱数多2。 这需要非常细致的洞察力才能看到这样的关系。 2这个数字, 是第一个拓扑数, 它标记拓扑等价于球面的几何体. 所谓拓扑等价, 就是指的是如果两个几何体可以通过连续的拉伸,扭曲,旋转等等操作变到对方, 这些操作不能是粘合, 撕裂, 那么这两个几何体称作是拓扑等价的. 这样的一个拓扑数, 现在被称作是欧拉数. 对于2维的几何体, 欧拉数是分类其整体性质的最重要的拓扑不变量. 对于这个公式的证明, 有很多种方法. 其中最有趣的证明办法是类似于"挑火柴棒"的游戏, 游戏规则是: 将一堆火柴棒散放在桌面上, 它们会重叠起来. 然后用另一根火柴去挑动, 要求挑出一根火柴, 且不能让除了这根火柴的其他部分有任何移动, 挑出一根后继续挑下一根, 如果失败,则交由对方继续挑, 最后计算谁得到的火柴棒数目多为胜. 我们来玩一下这个游戏的欧拉数版本. 先将多面体中的一个面煎下来, 这显然是一个多边形, 它的欧拉数为1. 剩下的部分我们将它拉伸后铺平放在平面上. 然后通过连接顶点的办法将它变成很多个三角形, 而且这些三角形的任意边不能在多面体的任何一个面内相交. 这样我们就得到了一个三角形堆砌的平面. 注意这样做不会改变顶点的个数, 只会增加棱数和面数. 但简单的分析就可以知道. 增加的棱数和面数是一样多的. 所以这个操作是保持剩余部分的欧拉数的. 实际上,这个操作在拓扑学中是剖分. 以后我们还会碰到这样的操作. 做完剖分之后, 我们先去掉最外面的一条边. 注意, 这样做同时也去掉了一个面. 因而也是保持欧拉数不变的操作. 然后, 观察剩下的图, 如果我们发现有三角形的两条边都是最外面的边, 那么我们去掉这个三角形的外顶点和相应的两条边(注意,同时我们也去掉了一个面), 这样的操作依然是保持欧拉数的. 持续这样的操作, 我们最终会得到一个三角形. 而三角形的欧拉数是1. 因此整个多面体的欧拉数是2. 我在这里强调了很多次保持欧拉数不变的操作. 这实际上是很重要的一个条件. 在一百年后, 嘉当发展同调论的时候, 就是用的这个想法. 而这种证明, 正是最简单的下同调方案. 整个代数拓扑领域, 就是通过这样的游戏规则建立起来的. 微分几何中很多特征类, 比如欧拉类, 陈类, 彭齐亚金类, 托德类等等, 都是这种思想推广而来的, 只不过那时候考虑的是更高维的拓扑不变量.
第一节: 欧拉数
金庸的《倚天屠龙记》中有一段关于张无忌学太极拳的描述。 说的是张三丰教张无忌太极拳， 张无忌跟着演练了几次就像模像样了。 张三丰问他：无忌， 你还记得多少？ 无忌回答：记得八成。 过一段时间后张三丰又问：无忌，还记得多少？ 张无忌说：还记得五成。 到最后再问的时候， 张无忌回答说：我已经全忘了。 于是练成不世神功太极拳。讲的是一个道理：大道浑然天成，不拘泥于招式。正所谓：无招胜有招。 可是对于见识浅陋的人来讲， 这无招岂不是变成了泼皮打架，全无章法？ 可见天才与凡人之间还是有着数量级的差距的。 其实这个故事有另一个江湖的版本， 就是数学领域中拓扑学的建立过程。诸君可能要问：数学怎么成了江湖？ 那数学家们岂不是都是江湖侠客或者盗匪？ 其实数学领域的确最像江湖， 各种惊才绝艳的人物统领这个江湖。 各种各样的理论分支就和各大小门派一样。 一般是祖师爷创下内功心法， 门徒们苦思招式， 最后成就一个门派。 这里要说的是拓扑学这个超级大派的建立的过程。数学的两个超级宗门是代数和几何，天下门派，无不源流于这两个超级宗门。200多年前， 数学家们孜孜以求的几何学和欧几里德的几何学没有太大的差别。 他们的想法朴素而实用， 就是通过长度，方向，连续这些基本的几何概念去构造抽象的几何世界。 当时的几何学， 还是以精确为主导方向。 譬如剑法， 求的是快和准。 这时候， 莱布尼兹提出， 如果我们抛弃长度和方向， 仅仅考虑连续的话， 对应的几何学是什么样的呢？ 这个问题等于说是， 我们抛弃快和准，怎么去练剑法？ 此论一出，几何学各大门派长老均不以为然。 莱布尼兹见大家毫无兴致， 于是搁置不谈。直到另一位天才横溢的宗师级的人物出场， 才重新捡起了这个被当时嘲笑为“橡皮泥的几何学”的东西。 他名叫欧拉。欧拉最先意识到这样的几何学会有很深远的影响。 虽然欧拉并没有写下拓扑学的内功心法。但他创出了一招， 这一招包含的深刻含义直到100多年后才被嘉当悟透。难以想象，失去了精确性的几何学会有什么样的用途。 这样没有速度和准度的剑法能够应用到实际中么？ 事实证明，这个几何学大巧不工，气势磅礴， 其影响遍及现代几何学的各个分支。而200年前，欧拉就已经洞察到了它的优美和力量，只因为他领悟了忘记长度和方向才能找到这种几何的根源。欧拉创出的第一个伟大的招式是：欧拉示性公式。 后来另一位和他并称一时瑜亮的几何大宗师高斯， 把这个公式推广到了连续一般情形。 但一直没有公开，准备当成内功秘籍传给弟子们。 几年后，另一个数学家博内同样做了这样的推广，得到了和高斯一样的公式。 史称：高斯-博内公式。至此，拓扑学这个几何学下的超级大派走上了舞台， 并且成为数学领域的几大霸主之一。我们现在先回到欧拉的出发点， 去探寻那个“倚天一出，谁与争锋”的波澜壮阔的历史。
欧拉示性公式是非常优美简洁的公式, 这延续了欧拉的工作的特征, 他的公式总是简单到了极致,而又深刻到了极致. 欧拉数是第一个神秘的拓扑数， 它的出现对于整个拓扑学有着无比深远的影响。这个公式非常简单：对于任意的一个凸多面体，它的顶点数为V， 棱数为E， 面的个数为F， 那么其必然有如下等式：V+F-E=2. 也就是说， 顶点数和面数之和比棱数多2。 这需要非常细致的洞察力才能看到这样的关系。 2这个数字, 是第一个拓扑数, 它标记拓扑等价于球面的几何体. 所谓拓扑等价, 就是指的是如果两个几何体可以通过连续的拉伸,扭曲,旋转等等操作变到对方, 这些操作不能是粘合, 撕裂, 那么这两个几何体称作是拓扑等价的. 这样的一个拓扑数, 现在被称作是欧拉数. 对于2维的几何体, 欧拉数是分类其整体性质的最重要的拓扑不变量. 对于这个公式的证明, 有很多种方法. 其中最有趣的证明办法是类似于"挑火柴棒"的游戏, 游戏规则是: 将一堆火柴棒散放在桌面上, 它们会重叠起来. 然后用另一根火柴去挑动, 要求挑出一根火柴, 且不能让除了这根火柴的其他部分有任何移动, 挑出一根后继续挑下一根, 如果失败,则交由对方继续挑, 最后计算谁得到的火柴棒数目多为胜. 我们来玩一下这个游戏的欧拉数版本. 先将多面体中的一个面煎下来, 这显然是一个多边形, 它的欧拉数为1. 剩下的部分我们将它拉伸后铺平放在平面上. 然后通过连接顶点的办法将它变成很多个三角形, 而且这些三角形的任意边不能在多面体的任何一个面内相交. 这样我们就得到了一个三角形堆砌的平面. 注意这样做不会改变顶点的个数, 只会增加棱数和面数. 但简单的分析就可以知道. 增加的棱数和面数是一样多的. 所以这个操作是保持剩余部分的欧拉数的. 实际上,这个操作在拓扑学中是剖分. 以后我们还会碰到这样的操作. 做完剖分之后, 我们先去掉最外面的一条边. 注意, 这样做同时也去掉了一个面. 因而也是保持欧拉数不变的操作. 然后, 观察剩下的图, 如果我们发现有三角形的两条边都是最外面的边, 那么我们去掉这个三角形的外顶点和相应的两条边(注意,同时我们也去掉了一个面), 这样的操作依然是保持欧拉数的. 持续这样的操作, 我们最终会得到一个三角形. 而三角形的欧拉数是1. 因此整个多面体的欧拉数是2. 我在这里强调了很多次保持欧拉数不变的操作. 这实际上是很重要的一个条件. 在一百年后, 嘉当发展同调论的时候, 就是用的这个想法. 而这种证明, 正是最简单的下同调方案. 整个代数拓扑领域, 就是通过这样的游戏规则建立起来的. 微分几何中很多特征类, 比如欧拉类, 陈类, 彭齐亚金类, 托德类等等, 都是这种思想推广而来的, 只不过那时候考虑的是更高维的拓扑不变量.
