平方根的阴谋 (1)
定理：所有数都相等。
证明：取任意两个数 a 和 b ，令 t = a + b 。于是，
a + b = t
(a + b)(a - b) = t(a - b)
a^2 - b^2 = t·a - t·b
a^2 - t·a = b^2 - t·b
a^2 - t·a + (t^2)/4 = b^2 - t·b + (t^2)/4
(a - t/2)^2 = (b - t/2)^2
a - t/2 = b - t/2
a = b
怎么回事儿？
问题出在倒数第二行。
永远记住， x^2 = y^2 并不能推出 x = y ，只能推出 x = ±y 。
平方根的阴谋 (2)
1 = √1 = √(-1)(-1) = √-1·√-1 = -1
嗯？
只有 x 、 y 都是正数时， √x·y = √x·√y 才是成立的。
-1 的平方根有两个， i 和 -i 。 √(-1)(-1) 展开后应该写作 i·(-i) ，它正好等于 1 。
复数才是王道
考虑方程
x^2 + x + 1 = 0
移项有
x^2 = - x - 1
等式两边同时除以 x ，有
x = - 1 - 1/x
把上式代入原式中，有
x^2 + (-1 - 1/x) + 1 = 0
即
x^2 - 1/x = 0
即
x^3 = 1
也就是说 x = 1。
把 x = 1 代回原式，得到 1^2 + 1 + 1 = 0 。也就是说， 3 = 0 ，嘿嘿！
其实， x = 1 并不是方程 x^2 + x + 1 = 0 的解。在实数范围内，方程 x^2 + x + 1 = 0 是没有解的，但在复数范围内有两个解。
另一方面， x = 1 只是 x^3 = 1 的其中一个解。 x^3 = 1 其实一共有三个解，只不过另外两个解是复数范围内的。考虑方程 x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 ，容易看出 x^3 = 1 的两个复数解正好就是 x^2 + x + 1 的两个解。因此， x^2 + x + 1 = 0 与 x^3 = 1 同时成立并无矛盾。
注意，一旦引入复数后，这个谬论才有了一个完整而漂亮的解释。或许这也说明了引入复数概念的必要**。
颇具喜剧色彩的错误
众所周知，
1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2
让我们用 n - 1 去替换 n ，可得
1 + 2 + 3 + … + (n-1) = (n-1)n / 2
等式两边同时加 1 ，得：
1 + 2 + 3 + … + n = (n-1)n / 2 + 1
也就是
n(n+1) / 2 = (n-1)n / 2 + 1
展开后有
n^2 / 2 + n / 2 = n^2 / 2 - n / 2 + 1
可以看到 n = 1 是这个方程的唯一解。
也就是说⋯⋯ 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2 仅在 n = 1 时才成立！
这个推理过程中出现了一个非常隐蔽而搞笑的错误。等式两边同时加 1 后，等式左边得到的应该是
1 + 2 + 3 + … + (n-2) + (n-1) + 1
1 块钱等于 1 分钱？
我要用数学的力量掏空你的钱包！请看：
1 元 = 100 分 = (10 分)^2 = (0.1 元)^2 = 0.01 元 = 1 分
用这个来骗小孩子们简直是屡试不爽，因为小学（甚至中学）教育忽视了一个很重要的思想：单位也是要参与运算的。事实上， “100 分 = (10 分)^2” 是不成立的， “10 分” 的平方应该是 “100 平方分” ，正如 “10 米” 的平方是 “100 平方米” 一样。
数学归纳法的杯具 (1)
下面这个“证明”是由数学家 George Pólya 给出的：任意给定 n 匹马，可以证明这 n 匹马的颜色都相同。
对 n 施归纳：首先，当 n = 1 时命题显然成立。若命题对 n = k 成立，则考虑 n = k + 1 的情形：由于 {#1, #2, …, #k} 这 k 匹马的颜色相同， {#2, #3, …, #k+1 } 这 k 匹马也相同，而这两组马是有重叠的，可知这 k+1 匹马的颜色也都相同了。
这个证明错在，从 n = 1 推不出 n = 2 ，虽然当 n 更大的时候，这个归纳是正确的。这是数学归纳法出错的一个比较奇特的例子：基础情形和归纳推理都没啥问题，偏偏卡在归纳过程中的某一步上。
数学归纳法的杯具 (2)
下面，我来给大家证明，所有正整数都相等。
为了证明这一点，只需要说明对于任意两个正整数 a 、 b ，都有 a = b 。
为了证明这一点，只需要说明对于所有正整数 n ，如果 max(a, b) = n ，那么 a = b 。
我们对 n 施归纳。当 n = 1 时，由于 a 、 b 都是正整数，因此 a 、 b 必须都等于 1 ，所以说 a = b 。若当 n = k 时命题也成立，现在假设 max(a, b) = k + 1 。则 max(a - 1, b - 1) = k ，由归纳假设知 a - 1 = b - 1 ，即 a = b 。
这个问题出在， a - 1 或者 b - 1 有可能不是正整数了，因此不能套用归纳假设。


所有三角形都是等腰三角形
别以为谬证都是隐藏在数字和字母之中的。下面就是一个经典的几何谬论。
画一个任意三角形 ABC 。下面我将证明， AB = AC ，从而说明所有三角形都是等腰三角形。

令 BC 的中垂线与 ∠A 的角平分线交于点 P 。过 P 作 AB 、 AC 的垂线，垂足分别是 E 、 F 。由于 AP 是角平分线，因此 P 到两边的距离相等，即 PE = PF 。于是，由 AAS 可知 △APE ≌ △APF 。由于 DP 是中垂线，因此 P 到 B 、 C 的距离相等，由 SSS 可知 △BPD ≌ △CPD 。另外，由于 PE = PF ， PB = PC ，且 ∠BEP = ∠CFP = 90° ，由 HL 可知 △BEP ≌ △CFP 。现在，由第一对全等三角形知 AE = AF ，由最后一对全等三角形知 BE = CF ，因此 AE + BE = AF + CF ，即 AB = AC 。

这个证明过程其实字字据理，并无破绽。证明的问题出在一个你完全没有意识到的地方——这个图形就是错的！事实上， BC 的中垂线与 ∠A 的角平分线不可能交于三角形的内部。我们可以证明， P 点总是落在 △ABC 的外接圆上。如图， P 是 BC 的中垂线与外接圆的交点，显然 P 就是弧 BC 的中点，即弧 BP = 弧 PC 。因此， ∠BAP = ∠CAP ，换句话说 P 恰好就在 ∠A 的角平分线上。

P 在 △ABC 外的话，会对我们的证明产生什么影响呢？你会发现，垂足的位置发生了本质上的变化—— F 跑到 AC 外面去了！也就是说，结论 AE + BE = AF + CF 并不错，只是 AF + CF 并不等于 AC 罢了。
一个可怕的逻辑错误
下面这个勾股定理的“证明”曾经发表在 1896 年的 The American Mathematical Monthly 杂志上：

假设勾股定理是正确的，于是我们可以得到
AB^2 = AC^2 + BC^2
BC^2 = CD^2 + BD^2
AC^2 = AD^2 + CD^2
把后两式代入第一个式子，有
AB^2 = AD^2 + 2·CD^2 + BD^2
但 CD^2 = AD·BD ，因此
AB^2 = AD^2 + 2·AD·BD + BD^2
即
AB^2 = (AD + BD)^2
即
AB = AD + BD
而这显然成立。因此，我们的假设也是成立的。
这个证明是错误的。假设结论正确，推出一个矛盾，确实能说明这个假设是错误的（这就是反证法）；但假设结论正确，推出它与条件吻合，这却并不能说明假设真的就是正确的。错误的假设也有可能推出正确的结果来。最经典的例子就是，不妨假设 1 = 2 ，由等式的对称性可知 2 = 1 ，等量加等量有 1+2 = 2+1 ，即 3 = 3 。但 3 = 3 是对的并不能表明 1 = 2 是对的。


不懂
第一个是乘法分配律吧